奇点简析编辑本段回目录
【物理学奇点】物理学上一个存在又不存在的点。
宇宙奇点
奇点（全称：奇异点）：ji一声 dian三声
英文：singularity/singular point
空间——时间的具有无限曲率的一点。空间——时间，在该处开始、在该处完结。经典广义相对论预言存在奇点，但由于现有理论在该处失效，也就是说不能用定量分析的方法来描述在奇点处有些什么。
【宇宙学奇点】作为“宇宙学的奇点”，是宇宙产生之初，由爆炸而形成现在宇宙的那一点。它具有所有物质的势能,而这种势能----正是由大爆炸而转化为宇宙物质的质量和能量,，以及表现这种质量和能量的“空间”。我们可以想象,奇点是一种无形的、无限小的、很奇妙的存在。它还不是宇宙，却是我们宇宙的初始和出处。
【几何学奇点】“几何意义上的奇点”，也是无限小且不实际存在的“点”。可以想象一维空间（如线），或二维空间（如面），或三维空间，当它无限小时，取极限小的最后的一“点”，这一个不存在的点，即奇点。
附1、物理学上，奇点也用于描述黑洞中心的情况。此时因为物质密度极高，空间无限大的压缩弯曲，物质压缩在体积非常小的点，此时此刻的时空方程中，就会出现分母无穷小的描述，因此物理定律失效。而天体物理学概念上便认为奇点是宇宙生成前的那一状态（即大爆炸前的“能量汇集之处”。）.
附2、“几何学奇点 ”，加上时间一维，就是四维“空间”，即有了“物理学意义的奇点”。
附3、把“几何学奇点”、“物理学奇点”应用于宇宙大爆炸理论，即是我们宇宙“从无到有的那一点”，这个既存在又不能描述的一点，即“宇宙大爆炸前的奇点”。
一般认为，爱因斯坦的广义相对论是用于描述宇宙演化的正确的理论。在经典广义相对论的框架里，霍金和彭罗斯证明了，在很一般的条件下，空间－时间一定存在奇点，最著名的奇点即是黑洞里的奇点以及宇宙大爆炸处的奇点。在奇点处，所有定律以及可预见性都失效。奇点可以看成空间时间的边缘或边界。只有给定了奇点处的边界条件，才能由爱因斯坦方程得到宇宙的演化。由于边界条件只能由宇宙外的造物主所给 定，所以宇宙的命运就操纵在造物主的手中。这就是从牛顿时代起一直困扰人类智慧的第一推动力的问题。
探秘黑洞中心奇点：科学定律失效之地编辑本段回目录
每一个黑洞的中心都有一个奇点
奇点每一个黑洞的中心都有一个奇点：在那里，密度无穷大、引力无穷大，所有已知的物理规律统统崩溃，科学完全不起作用。
物理学家一直认为——或者说希望奇点永远被囚禁在黑洞内部，这样就不会对外面的世界产生不可预测的影响。然而，他们或许都错了：大质量恒星的引力坍缩或许最终不会形成黑洞，而是产生一个直接暴露在外面的裸奇点。
撰文 潘凯·S·乔希(Pankaj S. Joshi)
翻译 虞骏
现代科学给这个世界带来了许多奇思异想，最古怪的一条，无疑是大质量恒星在“生命”演化到尽头时所要面对的终极命运：一颗大质量恒星在持续“燃烧”数百万年后耗尽燃料，无法继续与自身引力相抗衡，不可避免地踏上毁灭性的坍缩之路。像太阳这样的中等质量恒星，坍缩到一定程度便会稳定下来，成为体积更小的白矮星；但如果一颗恒星的质量足够大，它的引力就会压倒一切企图阻止坍缩的力量——这颗直径数百万千米的恒星会一直坍缩，最终比字母“i”上那个小点还要小。
大多数物理学家和天文学家认为，这样的坍缩最终会形成黑洞—— 一种引力超强的天体，没有任何东西能从它的周边区域中逃脱。一个黑洞由两部分组成：核心处是一个奇点(singularity)，那颗恒星上的所有物质都被压缩在这个无穷小的点中；围绕在奇点周围的则是一个不可能从中逃脱的空间区域，它的边界被称为“事件视界”(event horizon)。任何东西一旦落入事件视界，就失去了逃出生天的所有希望，它们发出的任何光线都被囚禁在视界之中，因此外界观测者永远不可能再看到它们。这些东西最终也都会被挤入奇点。
但事实果真如此吗？已知的物理规律可以肯定，这种坍缩会形成奇点，但事件视界是否随之形成，至今仍没有明确答案。大多数物理学家默认“事件视界必然产生”的假设，仅仅是因为视界为科学提供了一块极具诱惑力的“遮羞布”。物理学家还没弄明白，奇点处到底发生了什么：物质受到挤压，然后变成什么？事件视界把奇点隐藏起来，也掩饰了我们知识结构中的不足。奇点处或许上演着各种科学上未知的现象，但它们对外部世界不会产生任何影响。这样，天文学家在绘制行星及恒星运行轨道的时候，才可以心安理得地运用物理学标准定律，而不用去考虑奇点可能带来的不确定性——不论黑洞中发生了什么，都只能被囚禁于黑洞内部。
越来越多的研究者对这个主流假设提出了质疑。研究人员已经发现了多种恒星坍缩模型，事件视界在这些模型中根本不会形成，因此奇点会持久暴露于我们的视线之中。物理学家把这样的奇点称为裸奇点(naked singularity)。深入黑洞内部去探查一个奇点，是一条名副其实的“不归路”，然而从理论上讲，你可以随心所欲地靠近一个奇点，详加探查后再平安返回，讲述你的冒险经历。
如果裸奇点确实存在，那么天体物理学和基础物理学的各个方面，都会遭到巨大的冲击。没有了视界的遮蔽，发生在奇点附近的神秘现象就可能影响外部世界。裸奇点或许可以解释天文学家已经观测到的不明高能现象，或许还能提供一个天然实验室，让物理学家探索时空的最精细结构。
奇点宇宙监察员
科学家曾经认为，事件视界会是黑洞比较容易理解的那一部分。奇点显然是不可思议的——引力在那里变得无穷大，已知物理规律在那里全部失效。根据目前物理学家对于引力的理解(即爱因斯坦的广义相对论)，一颗大质量恒星在坍缩过程中必然产生奇点。广义相对论并没有考虑对微观物体十分重要的量子效应，这些效应大概会在关键时刻发挥作用，阻止引力强度真正变成无穷大。不过物理学家仍在排除万难，努力发展解释奇点所需的量子引力理论。
相比之下，发生在奇点周围时空区域中的现象似乎应当更容易理解。恒星坍缩形成的事件视界直径可达好几千米，远远大于量子效应发挥作用的典型尺度。假设自然界中不存在新的作用力来插手此事，事件视界就应该完全由一种理论来支配——这就是基本原理早已被了解透彻，并且经受住了90多年观测检验的广义相对论。
尽管如此，把广义相对论运用于恒星坍缩仍是一项令人望而却步的艰巨任务。爱因斯坦引力方程之复杂是出了名的，为了求出这些方程的解，物理学家必须做一些简化假设。20世纪30年代末，美国物理学家J·罗伯特·奥本海默(J. Robert Oppenheimer)和哈特兰·S·斯奈德(Hartland S. Snyder)进行了初步尝试，印度物理学家B·达特(B. Datt)也对此进行了独立研究。为了简化方程，他们只考虑形状为完美球状的恒星，假设这些恒星由密度均匀的气体构成，并且忽略气体压强。他们发现在这种理想化的恒星坍缩过程中，恒星表面的引力逐渐增强，最终大到足以囚禁所有的光和物质，从而形成一个事件视界。这颗恒星变得无法再被外界观测者看到，不久后便直接坍缩成一个奇点。
真正的恒星当然要复杂得多：它们的密度并不均匀，内部气体会产生压强，形状也可能多种多样。任何一颗质量足够大的恒星坍缩后都会成为一个黑洞吗？1969年，英国牛津大学的物理学家罗杰·彭罗斯(Roger Penrose)提出，答案应该是肯定的。他猜测，在一颗恒星的坍缩过程中如果产生一个奇点，就必然会有一个事件视界随之形成。大自然禁止我们看见任何一个奇点，因为总是会有一个视界将它遮蔽起来。彭罗斯的猜测被学术界称为“宇宙监察假设”(cosmic censorship hypothesis)。这只是一个猜测，却成为整个现代黑洞研究大厦的基石。物理学家希望，我们能够像证明奇点不可避免那样，用同样严格的数学方法来证明宇宙监察假设。
裸露的奇点
可惜，宇宙监察假设至今未被证明。由于找不到宇宙监察假设能够应用于所有情况的直接证据，我们不得不踏上一条更漫长的探索之路——将初步分析中没有考虑到的特征逐一添加到理论模型之中，对不同的恒星引力坍缩过程进行细致的案例分析。1973年，德国物理学家汉斯·于尔根·塞弗特(Hans Jürgen Seifert)及其同事分析了恒星密度不均匀的情况。有趣的是，他们发现不同的物质层在坍缩下落过程中相互交错，会产生出没有视界遮掩的、持续时间很短的奇点。不过奇点也分很多种，这些奇点算是相当“良性”的。尽管在某个位置密度变得无穷大，引力强度却仍然有限，因此这个奇点不会将物质和下落的物体挤压成一个体积无穷小的点。广义相对论不会在这里崩溃，物质会穿过这个位置继续下落，而不会在这里抵达终点。
1979年，美国加利福尼亚大学圣巴巴拉分校的道格拉斯·M·厄德利(Douglas M. Eardley)和伊利诺伊大学香槟分校的拉里·斯马(Larry Smarr)更进了一步，对一颗恒星的坍缩过程进行了数值模拟，这颗恒星的密度分布与真实恒星无异——中心处密度最高，越靠近表面密度越低。1984年，瑞士苏黎世联邦理工学院的季米特里奥斯·赫里斯托祖卢(Demetrios Christodoulou)完成了这种情况下恒星坍缩的严格数学推导。这两项研究都发现，这颗恒星的体积会收缩到零，最终形成一个裸奇点。不过这个模型仍然没有考虑气体压强，当时在英国约克大学工作的理查德·P·A·C·纽曼(Richard P.A.C. Newman)也证明，那个奇点的引力强度仍然不强。
受到这些发现的启发，包括我在内的许多研究人员试图严格归纳出一套定理，证明裸奇点的引力强度总是很弱。可惜，我们又没有成功。失败的理由很快就浮出水面：裸奇点的引力强度并不总是很弱。我们发现，一些不均匀坍缩过程可以产生真正的强引力奇点，能够将物质挤压到无形，并且外界观测者仍然可以看到这些奇点。1993年，我和当时就职于印度亚格拉大学(Agra University)的因德雷斯·德维韦迪(Indresh Dwivedi)合作，发展出一套不考虑气体压强的恒星坍缩通用分析方法，最终证实了上述观点。
奇点20世纪90年代初，物理学家开始考虑气体压强的作用。以色列理工学院(Technion-Israel Institute of Technology)的阿莫斯·奥里(Amos Ori)和耶路撒冷希伯来大学(Hebrew University of Jerusalem)的茨维·皮兰(Tsvi Piran)进行了数值模拟，我的研究团队则从数学上严格求出了相关方程的解，两项研究的结论都是：密度-压强关系遵从真实物理定律的恒星会坍缩形成裸奇点。大约同一时期，意大利米兰理工大学(Polytechnic University of Milan)的朱利奥·马利(Giulio Magli)和日本大阪市立大学(Osaka City University)的中尾贤一(Kenichi Nakao)各自带领研究小组，考虑了一颗坍缩恒星内部由粒子旋转产生的某种压强。他们同样证明，在许多情形下，坍缩最终会形成一个裸奇点。
这些研究分析的恒星都是完美球体。这个限制条件看似十分严格，实际上却并非如此，因为自然界中大多数恒星的形状都非常接近完美球体。要说形状因素有影响的话，球状恒星其实比其他形状的恒星更有利于事件视界的形成，因此，如果宇宙监察假说对球状恒星都无法成立，它的前途似乎就大大不妙了。尽管如此，物理学家仍然在不懈地探索非球状恒星的坍缩。1991年，美国伊利斯伊大学的斯图尔特·L·夏皮罗(Stuart L. Shapiro)和康奈尔大学的绍尔·A·托伊科尔斯基(Saul A. Teukolsky)进行了数值模拟，表明椭圆形的恒星可以坍缩成一个奇点。几年后，我和波兰科学院的安杰伊·克鲁拉克(Andrzej Królak)合作研究了非球对称坍缩，结果同样产生了裸奇点。必须指出的是，这两项研究都没有考虑气体压强。
一些持怀疑态度的人已经提出质疑：这些裸奇点会不会是人为设计的结果。如果对这些模型中恒星的初始性质稍加改动，坍缩过程是不是就会完全不同，最终形成一个事件视界遮蔽那个奇点？果真如此的话，裸奇点可能就是计算过程中采用近似方法而造成的人为假象，并不会真正在自然界中形成。一些涉及物质异常形态的模型确实对初始条件非常敏感。不过到目前为止，我们的研究结果证明，大多数裸奇点在初始条件细微改变之后仍然稳定存在。因此，这些坍缩模型在物理学上似乎站得住脚——也就是说，裸奇点并不是人为设计的结果。
核心提示： 物理学家一直认为——或者说希望奇点永远被囚禁在黑洞内部，这样就不会对外面的世界产生不可预测的影响。然而，他们或许都错了：大质量恒星的引力坍缩或许最终不会形成黑洞，而是产生一个直接暴露在外面的裸奇点。
制造裸奇点
这些与彭罗斯猜测恰恰相反的例子，表明宇宙监察假说并不是一条不可违背的自然准则。物理学家无法断言：“任何大质量恒星的坍缩都只能产生一个黑洞”，或者“任何物理学上切实可行的坍缩最终结果都是黑洞”。在一些情况下，恒星会坍缩成黑洞；而在其他情况下，坍缩会形成一个裸奇点。在一些模型中，奇点只是暂时裸露，最终事件视界还会形成，并把奇点遮蔽起来；而在其他模型中，奇点永远裸露在外。裸奇点通常形成于恒星坍缩的几何中心，但并不总是如此；就算裸奇点在几何中心处形成，它也可能漂移到其他区域。奇点的裸露程度也分不同等级：事件视界能够阻挡遥远的观测者窥探奇点的好奇目光，但那些已经落到事件视界以内的观测者，在撞上奇点之前有可能先看到它。裸奇点的多种多样简直令人不知所措。
我和同事已经从这些模型中分离出了决定事件视界会不会形成的各种特征。确切地说，我们仔细检查了密度不均匀性和气体压强的作用。根据爱因斯坦的理论，引力是一个十分复杂的现象，不仅涉及一种相互吸引的作用力，还涉及多种效应——剪切效应(shearing effect)就是其中之一，即不同的物质层沿着相反的方向侧向平移。一颗正在坍缩的恒星密度高到一定程度，按理说应该能够囚禁包括光线在内的所有物质，但如果恒星内部密度分布不均匀，其他这些效应就会打通一些“生路”， 让物质和光能够逃脱困境。比方说，奇点附近物质的剪切作用能够触发强大的激波，将物质和光抛射出去——本质上说，这就如同一场引力台风，搅乱了事件视界的形成。
具体地说，我们不妨考虑一颗密度均匀的恒星，忽略气体压强(压强会改变一些细节，但不会改变整个过程的大致走向)。随着这颗恒星的坍缩，引力越来越强，运动物体的轨迹也越来越弯，就连光线也不例外。到了某一时刻，光线弯曲到一定程度，再也无法离开这颗恒星，一片能够囚禁光的区域便形成了。这片区域最初很小，但随即扩大，最后稳定下来，半径正比于这颗恒星的质量。与此同时，由于恒星密度在空间上均匀分布，只随时间变化，因此整颗恒星会在同一时刻被挤压到一点。光在此前就被囚禁了，因此，这个奇点自诞生时起就被永远隐藏了起来。
现在考虑另一颗其他情况完全相同、只是内部密度从中心向外逐渐降低的恒星。事实上，这颗恒星内部的物质结构就像洋葱一样，呈现出一层一层的同心球壳状分布。引力在每一层球壳上的作用强度，取决于这层球壳内部物质的平均密度。由于内层球壳密度更大，所受引力也更强，因此它们坍缩的速度比外层球壳更快。整颗恒星不会在同一时刻坍缩到一个奇点。最内层的球壳最先坍缩，然后外层球壳一层跟着一层坍缩进去。
由此产生的坍缩不同步能够延迟事件视界的形成。致密的内层球壳是最有可能形成视界的地方。但是如果密度从内向外下降得非常迅速，这些球壳也许就无法凑足囚禁光线所需的质量。如此一来，这个奇点形成的时候，就会被裸露在外。因此，裸奇点的形成存在一道“门槛”：如果密度不均匀性非常小，低于一个临界值，坍缩就会形成一个黑洞；如果密度不均匀性足够大，一个裸奇点就会诞生。
在另一些模型中，坍缩速度成了决定性因素，它的作用效果在恒星坍缩的一类所谓“火球模型”中表现得淋漓尽致。在这些模型中，恒星内部的气体完全被转化为辐射，这颗恒星实际上变成了一团巨大的火球——这种情形最早是在20世纪40年代，印度物理学家P·C·维迪雅(P. C. Vaidya)在建立辐射恒星模型时提出的。这种情况下，裸奇点的形成仍然存在一道“门槛”：缓慢坍缩的火球会变成黑洞，但如果一个火球坍缩速度足够快，光就不会被囚禁，奇点也会裸露出来。
奇点派未来学家预言: 2029年电脑将胜人脑编辑本段回目录
一些未来学家2997年11月8日称，正如黑洞中心存在着一个让一切已知物理定律都失效的“奇点”一样，信息技术也正在朝着这样一个奇点迈进。届时，人工智能机器将比其制造者———人更加聪明。这些未来学家认为，过了这个点，一切都将以现在不可预测、无法想象的速度和形式发展了。
奇点11月8日，由美国“人工智能奇点研究所”主办的为期两天的“奇点高峰会”在旧金山召开。一些未来学家在此次会议上畅想了几十年后的科技图景，如能自我编程的计算机和向大脑植入芯片等，这些芯片将使人类的思考速度达到现今微处理器的水准。
但人工智能专家也警告说，现在必须为有关研究制定道德规范，以确保未来的发展能够帮助人类而不是危害人类。麻省理工学院的机器人学教授罗德尼·布鲁克斯说：“在越过奇点后，我们和我们的世界将与现在大不一样，对什么是人、什么是机器人的定义也将变得不同。”
“人工智能奇点研究所”的创办人之一伊利泽·尤德库斯基目前正在研究所谓的“友好人工智能”。他说，他最担心的是，一些科技怪才会发明一种能够自我进化但却没有道德感的机器人，这将给人类带来灾难。
首位用“奇点”这一术语描述这种技术大变革的人是美国数学家、科幻小说作者弗诺·文奇，此后，高科技企业家雷·库茨魏尔在其2005年的著作《奇点迫近》一书中进一步提升了这一概念。库茨魏尔认为，技术的指数级发展将不可避免地导致超人类智能的出现。库茨魏尔对自己的预测很有信心，他甚至将到达奇点的时间定为2029年。
一些批评者嘲笑“奇点派”整天沉迷于“技术救世”和“技术大毁灭”这类的奇谈怪论。他们说，“奇点派”的预测有很多科幻成分，不会成为现实。但“奇点派”的支持者说，忽视奇点出现的可能性是不负责任的。尤德库斯基说：“技术正在向这个奇点驶进，不能准确预测它将会在哪天成为事实不应成为我们置之不理的借口。”
奇点与奇点定理简介编辑本段回目录
一. 什么是奇点？
自本节开始， 我们将介绍能量条件在现代物理中的若干应用， 首先要介绍的是奇点定理。 在广义相对论中， 对奇点的研究是一个重要的课题， 它既是能量条件最早的应用之一， 也是全局方法在广义相对论中初试锋芒的范例。 我们在 能量条件简介的引言 中曾经提到， 广义相对论的经典解 - 比如 Schwarzschild 解 - 存在奇异性。 这其中有的奇异性 - 比如 Schwarzschild 解中的 r=2m - 可以通过坐标变换予以消除， 因而不代表物理上的奇点； 而有的奇异性 - 比如 Schwarzschild 解中的 r=0 - 则是真正的物理奇点。 很明显， 在奇点研究中， 真正的物理奇点才是我们感兴趣的对象。
那么究竟什么是广义相对论中真正的物理奇点 (简称奇点) 呢？
初看起来， 这似乎是一个很简单的问题。 奇点显然就是那些时空结构具有某种病态性质 (pathological behavior) 的时空点。 但稍加推敲， 就会发现这种说法存在许多问题。 首先， “病态性质” 是一个很含糊的概念， 究竟什么样的性质是病态性质呢？ 显然需要予以精确化。 其次， 广义相对论与其它物理理论有一个很大的差异， 那就是其它物理理论都预先假定了一个背景时空的存在， 因此， 那些理论如果出现奇点 - 比如电磁理论中点电荷所在处的场强奇点 - 我们可以明确标识奇点在背景时空中的位置[注一]。 但广义相对论描述的是时空本身的性质。 因此在广义相对论中一旦出现奇点， 往往意味着时空本身的性质无法定义。 另一方面， 物理时空被定义为带 Lorentz 度规的四维流形[注二]， 它在每一点上都具有良好的性质。 因此， 物理时空按照定义就是没有奇点的， 换句话说， 奇点并不存在于物理时空中[注三]。
既然奇点并不存在于物理时空中， 自然就谈不上哪一个时空点是奇点， 从而也无法把奇点定义为时空结构具有病态性质的时空点了。 但即便如此， 象 Schwarzschild 解具有奇异性这样显而易见的事实仍然是无法否认的， 因此关键还在于寻找一个合适的奇点定义。
为了寻找这样的定义， 我们不妨想一想， 为什么即便当 Schwarzschild 解中的 r=0 这样的 “麻烦制造者” 不存在于物理时空中， 我们仍然认为 Schwarzschild 解具有奇异性是显而易见的事实？ 答案很简单 (否则就不叫显而易见了)： 当一个试验粒子在 Schwarzschild 时空中沿径向落往中心 (即 r 趋于 0) 时， 它所接触到的时空曲率趋于发散。 由于试验粒子的下落是沿非类空测地线进行的[注四]， 这启示我们这样来定义奇点： 如果时空结构沿非类空测地线出现病态性质， 则表明存在奇点。 这个定义不需要将奇点视为时空流形的一部分， 从而避免了上面提到的与时空流形的定义之间的矛盾。 但是， 这个定义还面临两个问题： 一是 “病态性质” 这个含糊概念仍未得到澄清， 二是在这个定义中， 假如试验粒子沿非类空测地线需要经过无穷长的时间才会接触到时空结构的病态性质， 那么奇点的存在就不具有观测意义。 为了解决这两个问题， 物理学家们提出了一个进一步的要求， 即要求定义中涉及的非类空测地线具有有限 “长度”， 并且是不可延拓的 (inextendible)[注五]。 这种具有有限的 “长度” 的不可延拓非类空测地线被称为不完备非类空测地线 (incomplete non-spacelike geodesics)。
有了这一概念， 我们可以这样来定义奇点： 如果存在不完备非类空测地线， 则时空流形具有奇点。 这就是多数广义相对论文献所采用的奇点定义。 这种存在不完备非类空测地线的时空被称为非类空测地不完备时空， 简称测地不完备时空 (geodesically incomplete spacetime)。 在一些文献中， 按照不完备测地线的类型， 还将测地不完备时空进一步细分为类时测地不完备与类光测地不完备[注六]。 这个定义的合理性体现在： 在一个测地不完备的时空流形中， 试验粒子可以沿不完备的非类空测地线运动， 并在有限时间内从时空流形中消失。 这种试验粒子在有限时间内从时空流形中消失的行为 - 即测地不完备性 - 可以视为是对时空结构具有 “病态性质” 这一含糊要求的精确表述。 这样我们就既解决了 “病态性质” 的精确化问题， 又使奇点具有了观测意义 (即试验粒子在有限时间内就可以遇到奇点)。 在一些文献中， 还对奇点存在于过去还是未来进行区分： 如果所涉及的非类空测地线是未来 (过去) 不可延拓的， 则对应的奇点被称为未来 (过去) 奇点。
细心的读者可能注意到我们在前面的 “长度” 一词上加了引号。 一般来说， 类时测地线的长度定义为固有时间：
τ = ∫ ds
但这一定义不适合描述类光测地线， 因为后者对应的固有时间恒为零。 因此， 我们需要对长度的定义进行推广， 将之定义为所谓的广义仿射参数 (generalized affine parameter)。 对于一条时空曲线 C(t) (t 为任意参数)， 广义仿射参数定义为：
λ = ∫ [ΣaVa(t)Va(t)]1/2 dt
其中 Va(t) 为曲线在 C(t) 处的切向量 ∂/∂t 沿该处某标架场 ea(t) 的分量。 曲线上各点的标价场定义为由某一点的标价场平移而来， 而求和则是欧式空间中的分量求和。 显然， 这样定义的广义仿射参数是恒正的， 它的数值与标架场的选择有关。 但可以证明， 广义仿射参数的有限与否与标价场的选择无关。 因此它对于我们表述奇点的定义已经足够了。 需要注意的是， 广义仿射参数的定义适用于所有 C1 类 (即一次连续可微) 的时空曲线， 而不限于测地线。 不难证明， 类时测地线的固有时间是广义仿射参数的特例 (请读者自行证明)。
作为一个例子， 我们来看看 Schwarzschild 解中 r=0 的奇点是否满足上面所说的奇点定义。 为此我们来计算从施瓦西视界 (r=2m) 出发， 向内 (即沿 r 减小方向) 延伸的径向类时测地线的长度 (即固有时间)。 由 Schwarzschild 度规可知：
ds2 = -(2m/r-1)dt2 + (2m/r-1)-1dr2
因此 (请读者补全被省略的计算细节)
τ = ∫ ds < ∫ (2m/r-1)-1/2dr ≤ πm < ∞
由此可见这种测地线的长度是有限的。 另一方面， 沿这种测地线趋近 r=0 时， Kretschmann 标量 RμνρσRμνρσ 发散， 因此这种测地线是不可延拓的。 这表明 Schwarzschild 解中 r=0 的奇点满足上面所说的奇点定义。 从物理上讲， 这个结果表明落入 Schwarzschild 视界的试验粒子会在有限固有时间内从物理时空中消失 (形象地说是 “落入奇点”)。
现在让我们再回到定义上来， 奇点的定义要求时空流形具有测地不完备性。 读者也许会问： 测地线究竟由于什么原因而不完备？ 另外， 虽说测地不完备性是对时空结构所具有的病态结构的精确描述， 但这 “精确” 二字是以数学上无歧义为标准的。 在物理上， 我们仍然可以问这样一个问题： 当试验粒子沿不完备的测地线运动时， 究竟会遇到什么样的时空病态性质？ 或者简单地说， 奇点究竟是什么样子的？ 对此， 人们曾经试图给出一个直观描述， 可惜一直没能找到一种直观描述足以涵盖所有可能的测地不完备性。 比方说， 人们曾经认为奇点的产生意味着某些几何量 (比如曲率张量) 或物理量 (比如物质密度) 发散， 如果是这样， 那么沿不完备非类空测地线运动的试验粒子所遇到的将是趋于无穷的潮汐作用或其它发散的物理效应。 Schwarzschild 奇点及大爆炸奇点显然都具有这种性质。 但细致的研究发现， 并非所有的奇点都是如此。 一个最简单的反例是锥形时空：
ds2 = dt2 - dr2 - r2(dθ2 + sin2θdφ2)
其中 r>0， 0<φ<a (a 为 小于 2π 的一个角度)， 并且 φ=0 与 φ=a 粘连在一起。 这个时空是局部平坦的 (曲率张量处处为零)， 并且显然没有任何发散性。 但这一时空无法延拓到 r=0 (被称为锥形奇点)， 因而是测地不完备的 (类时与类光都不完备)[注七]。 这个反例表明奇点不一定意味着发散性。
对奇点的另一种直观描述是： 奇点是时空中被挖去的点 (或点集)。 比如 Schwarzschild 奇点与刚才提到的锥形奇点是被挖去的 r=0， 大爆炸奇点则是被挖去的 t=0。 但这种描述如果正确的话， 那么通向奇点的所有测地线 - 无论类时还是类光 - 必定都是不完备的。 换句话说， 如果奇点是时空中被挖去的点 (或点集)， 那么它的存在将同时意味着类时测地不完备性与类光测地不完备性。 我们上面举出的所有例子都具有这一特点。 但细致的研究表明， 这一描述同样不足以涵盖所有的奇点。 1968 年 R. P. Geroch 给出了一个共形于 Minkowski 时空的时空 (R4, Ω2ηab)， 其中共形因子 Ω2 具有球对称性， 在区域 r>1 恒为 1， 在 r=0 上满足 t2Ω→0 (t→∞)。 显然 (请读者自行证明)， 对于这样的时空， 类时测地线 r=0 沿 t→∞ 具有不完备性， 因此这个时空流形具有类时测地不完备性。 另一方面， 所有类光测地线都将穿越区域 r≤1 而进入平直时空， 因而都是测地完备的。 由此可见这一时空具有类时测地不完备性， 但不具有类光测地不完备性[注八]。 这个反例表明奇点并非都能理解为是从时空中被挖去的点 (或点集)。
通过这些例子， 我们对奇点定义所包含的复杂性有了一些初步了解， 它的表述虽然简单， 却巧妙地包含了难以完整罗列的种种复杂的时空类型。 但另一方面， 这个定义虽然已经具有很大的涵盖性， 却仍不足以包含所有的奇点类型。 这一点也是由 Geroch 指出的， 此人在奇点定理的研究中是可以与 Hawking 及 Penrose 齐名的非同小可的人物。 1968 年， 在提出上述反例的同一篇论文中， Geroch 给出了另外一种时空， 它是测地完备的， 但却包含长度有限的不可延拓类时曲线 (注意是类时曲线而非类时测地线)， 并且该曲线上的加速度有界。 从物理上讲， 这意味着在这种时空中， 带有限燃料的火箭所携带的试验粒子沿特定的类时曲线运动， 可以在有限时间之内从时空流形中消失。 显然， 这与自由下落的试验粒子从时空流形中消失具有同样严重的病态性质 (事实上这里我们还要多损失一枚火箭！)。 因此如果我们认为测地不完备性意味着奇点， 那么就必须承认 Geroch 的时空也具有奇点。 这个反例表明， 我们 - 以及多数其它文献 - 所采用的测地不完备性只是定义奇点的充分条件， 而不是必要条件。 也就是说， 一个测地不完备的时空必定具有奇点， 但反过来则不然， 一个测地完备的时空未必就没有奇点。
物理学家们对奇点性质所做的研究还有许多， 限于篇幅， 我们不在这里做进一步叙述了， 不过在后文介绍宇宙监督假设时我们还会再涉及这一话题。 在接下来的几节中， 我们将介绍奇点定理及其证明。
二. Raychaudhuri 方程
在 上一节 中我们对广义相对论中的奇点作了定义。 这样定义的奇点究竟会在什么条件下出现？ 它是否如某些物理学家猜测的那样来源于对称性？ 这些就是奇点定理所要回答的问题。
由于我们对奇点的定义是建立在测地不完备性之上的， 因此为了研究奇点产生的条件， 很自然的做法就是对测地线的性质进行研究。 我们用 V 表示测地线的切矢量， 对于类时测地线来说， V 满足两个条件： VaVa=1 (归一化条件) 及 VaVb;a=0 (自平移条件)。 我们效仿线性代数中引进投影算符的做法， 引进一个辅助张量 hab=gab-VaVb。 不难证明 (请自行验证)， hab 是在与 V 垂直的子空间上的投影算符， 因此 hab 有时被称为时空度规 gab 的 “空间部分” (请读者想一想， 这里所说的 “空间” 是什么含义？)。
我们知道， 时空曲率的存在会导致沿相邻测地线运动的试验粒子之间的距离发生变化， 这是所谓的测地偏离 (geodesic deviation) 效应， 它是引力相互作用的一种体现。 我们对测地线性质的研究也从这个角度入手。 对一个测地线束来说， 如果我们用与切矢量 V 垂直的自然基矢 S 表示测地偏离矢量， 则 [S, V]=0， 即 (请读者自行证明)： dSa/dτ ≡ VbSa;b = Va;bSb (其中 τ 为固有时间)。 这表明， Va;b 描述了测地偏离矢量沿测地线的变化。 如果我们把沿测地线束运动的一群粒子看成一种类似于连续介质的东西， 那么 Va;b 描述的就是这一介质的形变。 由于这种形变是纯 “空间” 的 (请读者想一想这是什么含义？ 并且予以证明)， 因此我们可以仿照连续介质力学的做法， 用前面定义的时空度规的 “空间部分” hab 将这种形变分解为 (请读者加以验证)：
Va;b = (1/3)θhab + σab + ωab
其中 θ， σab， 及 ωab 分别定义为：
θ = Va;bhab = Va;a
σab = V(a;b) - (1/3)θhab
ωab = V[a;b]
这里 V(a;b) 与 V[a;b] 分别为 Va;b 的对称与反对称部分。 上面这三项均有明确的物理意义： θ 被称为膨胀标量 (expansion scalar)， 是 Va;b 的迹， 描述的是测地线束汇聚或发散的趋势； σab 被称为切变张量 (shear tensor)， 是 Va;b 的无迹对称部分， 描述的是测地线束的空间截面在体积不变 (由无迹条件所保证) 的情况下产生形变的趋势； ωab 被称为涡旋张量 (vorticity tensor)， 是 Va;b 的反对称部分， 描述的是测地线束在空间截面形状不变的情况下相互缠绕的趋势[注一]。 这其中描述测地线束汇聚或发散的 θ 对于奇点定理的讨论有着特别重要的意义， 因此我们将着重对它进行研究。
为了研究 θ， 我们注意到从物理上讲， 影响 θ 的因素是时空曲率 (或者说物质分布 - 两者通过 Einstein 场方程彼此联系)。 因此我们从曲率张量的定义式 Va;bc - Va;cb = RadbcVd 出发[注二]。 将这一表达式对指标 a 和 b 进行缩并， 与 Vc 取内积， 并利用 Va;b 的分解式及类时切向量 V 的性质， 便可证明 θ 沿测地线的变化为：
dθ/dτ ≡ Vaθ;a = -RabVaVb - (1/3)θ2 - σabσab + ωabωab
其中 τ 为固有时间。 这个方程被称为 Raychaudhuri 方程[注三]， 是印度物理学家 A. K. Raychaudhuri (1923-2005) 与俄国物理学家 L. Landau (1908-1968) 彼此独立地提出的。 Raychaudhuri 方程的提出恰好是在 Einstein 逝世的那一年 (1955 年)， 它与能量条件的结合将成为证明奇点定理的重要环节。
三. 测地线束与共轭点
在 Raychaudhuri 方程中， 如果所考虑的测地线束局部正比于某个梯度场， 或者说垂直于某个超曲面， 则称该线束是超曲面垂直 (hypersurface orthogonal) 的。 可以证明， 对于这样的测地线束来说， 涡旋张量 ωab 为零， 从而 Raychaudhuri 方程可以简化为：
dθ/dτ = -RabVaVb - (1/3)θ2 - σabσab
由于 σabσab 总是非负的， 因此从这个方程中我们可以得到：
dθ/dτ ≤ -RabVaVb - (1/3)θ2
如果进一步假定强能量条件成立， 即 RabVaVb 处处非负， 则上述不等式可以进一步简化为：
dθ/dτ ≤ - (1/3)θ2
对这个不等式进行积分可得：
θ-1 ≥ θ0-1+(1/3)(τ-τ0)
其中 θ0=θ(τ0)。 从这个不等式我们可以得到一个重要的推论， 那就是倘若 θ0<0， 即线束在 τ=τ0 时出现汇聚效应， 则 θ 会在有限固有时间 τ-τ0≤3/|θ0| 内趋于负无穷。 可以证明， 这意味着测地线束在该处汇聚为一点， 或者说测地偏离矢量场 - 也称为 Jacobi 场 - 在该处为零。 如果一个从 p 点发出的非平凡 (即各测地线不处处重合， 或者说 Jacobi 场不处处为零) 的类时测地线束在 q 点汇聚， 我们就把 q 和 p 称为该测地线束上 (即其中每一条测地线上) 的一对共轭点 (conjugate points)。 从上面的分析中我们看到， 如果从 p 点发出的一个类时测地线束在未来某一点上出现汇聚效应 θ<0， 则在该线束上距离 p 有限远的地方必定存在一个与 p 共轭的点 q - 当然， 这里我们要假定该测地线束可以延伸到 q 点。
显然， 在一个测地完备时空中， “测地线束可以延伸到 q 点” 这一假定是自动满足的。 因此， 对于测地完备时空来说， 上面这个结果是所有类时测地线都满足的普遍性质。 进一步的分析表明， 上述结果所要求的条件， 即在某一点上 θ<0， 可以转化为一个有关曲率张量的条件。 事实上， 从前面所得的 θ-1≥θ0-1+(1/3)(τ-τ0) 可以看到， 即便 σabσab 与 RabVaVb 处处为零， 且 θ0>0 (这是对形成 θ<0 最为不利的条件)， θ 仍将在 τ→∞ 时趋于零 (即几乎就要形成 θ<0 这一结果)。 这使人想到， 上述最为不利的条件只要在某个点上 (从而由连续性条件可知在该点的一个邻域内) 被破坏， 比如 RabVaVb>0 在某个点上成立， 就足可造成当 τ 足够大时 θ<0。 事实也的确如此， 因此某一点上 θ<0 这一条件转化为某一点上 RabVaVb>0。 如果我们进一步把 σabσab 所起的作用也考虑进去， 这一条件还可以继续减弱， 最终可以得到这样一个结果： 在一个测地完备的时空中， 如果强能量条件成立， 并且在每条类时测地线上至少有一个点使得 RabcdVbVd≠0， 则所有类时测地线上都存在共轭点对， 简称共轭对。
从物理意义上讲， 每条类时测地线上至少有一个点使得 RabcdVbVd≠0， 意味着每条类时测地线都至少会在一个时空点上遇到由物质分布或引力波所造成的某种测地偏离效应。 这一条件 - 称为类时一般性条件 (timelike generic condition) - 在理论上可以被一些非常特殊的情形， 比如曲率张量与测地线切矢量形成特殊分量匹配的情形， 所违反。 但对于具有现实物理意义的情形来说， 由于物质及引力波的分布往往足够弥散及随机， 类时一般性条件被认为是得到满足的。
上面这些结果都是针对类时测地线的。 不过可以证明， 除了一些不影响定性结果的差异 (比如 Raychaudhuri 方程中的数值因子 1/3 因垂直子空间维数的改变而变成 1/2， 固有时间 τ 变成仿射参数 λ， 等) 外， 类光测地线也具有类似的性质。 类光测地线所满足的一般性条件为： 每条类光测地线上至少有一个点使得 k[eRa]bc[dkf]kbkc ≠ 0。 这个条件被称为类光一般性条件 (null generic condition)[注四]。 类时与类光一般性条件统称为一般性条件[注五]。 把类时与类光情形合在一起， 我们前面介绍的结果可以重新表述为： 在一个测地完备的时空中， 如果强能量条件与一般性条件成立， 则每条非类空测地线上都存在共轭对[注六]。 这是一个不依赖于对称性的普遍结果， 它对于奇点定理的证明及确立奇点定理的普适性都有极其重要的作用。
细心的读者可能还记得， 在上述结果的证明伊始我们曾经作过一个假设， 即所考虑的测地线束是超曲面垂直的。 这个假定保证了 ωab=0， 从而消除了 Raychaudhuri 方程中与其它各项符号相反 - 因而会对我们的证明造成极大干扰 - 的 ωabωab 项 (请读者想一下， 这一项的符号与其它各项相反的物理意义是什么？)。 那么这个假设具有多大的普遍性呢？ 或者说， 这个假设是否会使上述结果 - 进而使整个奇点定理的证明 - 失去应有的普遍性呢？ 幸运的是， 在数学上可以证明， 经过某一时空点的类时测地线束必定在该点的某个凸邻域内具有超曲面垂直性， 因此 ωab 在该邻域内必定为零。 不仅如此， 通过一个与 Raychaudhuri 方程类似的描述 ωab 沿测地线变化的方程可以证明， ωab 沿一条测地线只要在某一点上为零， 就 (沿该测地线) 处处为零。 因此， 假定测地线束为超曲面垂直不会有损结果的普遍性。
上面的结果表明， 在一个具有适当物质分布的测地完备时空中共轭点的存在是普遍现象。 假如有一个适当的物质粒子群沿某个非类空测地线束运动， 那么当它们运动到共轭点上时， 由于测地线的汇聚， 粒子的数密度 (以及质量密度) 将趋于发散， 从而形成一个奇点。 Raychaudhuri 发表于 1955 年的原始论文就涉及了这样的情形[注七]。 不过， 在一般情况下没有理由假定存在那样的物质粒子群， 因此共轭点的存在不会直接导致奇点， 上述结果也不足以作为奇点存在性的证明 (如果一定要算证明的话， 只能算是非常弱的证明， 因为它所要求的条件太过特殊)。 但是， 这一结果为十年后 Penrose 等人的工作奠定了基础， 是证明奇点定理的第一步。 这一步所侧重的是引力理论中的动力学因素， 强能量条件的引进是这种因素的体现。
在 下一篇 中我们将会看到， 当我们把有关测地线的上述结果与看似风马牛不相及的时空的因果性质结合起来时， 奇点在广义相对论中的出现几乎是不可避免的。
四. 时空的因果结构
证明奇点定理的第二步侧重的是时空的因果结构。 在物理学中， 因果性是一个很微妙的概念。 一方面， 它是现实世界中最基本的经验事实之一； 另一方面， 却很少有物理理论直接把因果性作为前提条件。 由此导致的一个结果是： 某些物理理论起码在形式上允许因果性的破坏。 广义相对论就是这样的一个理论。 在广义相对论中， 破坏因果性最简单的方式是产生闭合非类空曲线 (请读者想一想， 这种曲线在什么意义上破坏因果性？)。 为了对这种类型的因果性破坏进行界定， 人们引进了一个条件， 叫做因果性条件 (causality condition)： 一个时空如果不存在闭合非类空曲线， 则称为满足因果性条件。 由于所有有质量粒子都只能沿类时曲线运动， 因此人们还提出了一个比因果性条件稍弱的条件， 称为时序条件 (chronology condition)， 它与因果性条件的差别在于把 “不存在闭合非类空曲线” 减弱为 “不存在闭合类时曲线”。
虽然时序条件比因果性条件稍弱， 但可以证明， 一个时空如果在时序条件之外还满足测地完备性， 则该时空将不仅满足因果性条件 (即不存在闭合非类空曲线)， 而且不存在可以无限逼近闭合非类空曲线的曲线。 这个比因果性条件更强的性质， 被称为强因果性条件 (strong causality condition)， 它在奇点定理的研究中是一个重要概念。
奇点定理研究中的另一个重要概念是所谓的封闭陷获面 (closed trapped surface)。 这是一种特殊的二维封闭类空曲面， 所有与之正交的类光测地线束无论向内还是向外都是趋于汇聚的 (即 θ<0)。 从物理上讲， 这意味着从封闭陷获面发出的光波的波前是收缩的。 这种曲面在广义相对论中并不鲜见， 比如 Schwarzschild 解中所有 r<2m 的曲面都具有这一性质 (这表明任何物质 - 包括光波 - 都不能从 Schwarzschild 黑洞中逃脱)。 1983 年， R. Schoen 与 S. T. Yau (丘成桐) 证明了一个相当普遍的结果： 只要物质的分布足够致密， 就必定会出现封闭陷获面。
由于封闭陷获面的定义建立在类光测地线的行为之上， 因此我们引进与类光测地线有关的两个特殊点集： E+(S) 与 E-(S)， 分别由从曲面 S 发出的未来与过去方向的类光测地线组成[注一]。 在这一定义中我们假定 S 上任意两点间都不存在类时连接， 这种点集 S 被称为非时序点集 (achronal set)。 封闭陷获面由于是类空的， 因此显然也是非时序点集。 可以证明， 如果强能量条件成立， 则对于任何封闭陷获面 S， E+(S) 与 E-(S) 紧致。
我们知道， 物理上所有的相互作用都是非类空传播的 (也就是说相互作用的传播速度不大于光速)。 因此， 如果我们考虑时空中某一点上的任何物理性质， 它所能依赖的初始条件只能位于与该点具有非类空连接的时空点上。 反过来说， 给定某个时空区域 S 上的初始条件， 我们能完全确定其性质的时空区域是由那样的一些点组成的： 所有通过那些点的过去不可延拓非类空曲线都与 S 相交。 这一时空区域被称为 S 的未来 Cauchy 展开 (future Cauchy development) 或未来影响域 (future domain of dependence)， 通常记为 D+(S)。 D+(S) 的边界被称为未来 Cauchy 视界 (future Cauchy horizon)， 记为 H+(S)。 类似地， 我们也可以定义 S 的过去 Cauchy 展开 (或过去影响域) 和过去 Cauchy 视界， 分别记为 D-(S) 和 H-(S)。 S 的未来 Cauchy 展开与过去 Cauchy 展开合在一起 - 即 D+(S)∪D-(S) - 称为 S 的 Cauchy 展开 (或影响域)， 记为 D(S)。 一个时空 (或时空中的一个点集) M 中如果存在一个封闭非时序点集 S， 使得 M=D(S)， 则称为是全局双曲 (globally hyperbolic) 的， 相应的封闭非时序点集 S (可以证明它一定是一个超曲面) 被称为 Cauchy 面 (Cauchy surface)。 Cauchy 面可以被形象地理解为时空中对应于某一时刻的超曲面。 一个时空如果是全局双曲的， 我们就可以通过 Cauchy 面上的初始条件预言整个时空的演化， 因此时空的全局双曲是一种非常优良的因果性质。 1965 年， Penrose 正是在假设时空为全局双曲的基础上证明了最早的奇点定理。 但是， 时空的全局双曲是一个很强的假设， 要想证明现实时空满足这样的假设几乎是不可能的。 因此五年之后， Hawking 与 Penrose 放弃了这一假设， 在一组物理上更容易实现的假设的基础上重新证明了奇点定理， 那便是我们所要介绍的 Hawking-Penrose 奇点定理。
对于奇点定理的证明来说， 全局双曲点集有一个很重要的性质， 那就是其中任意两个可以建立非类空连接的时空点 p 和 q 之间必定存在一条非类空测地线， 其长度大于 p 和 q 之间的任何其它非类空曲线 (请读者想一想为什么这里测地线的长度是最大而不是最小？)， 并且在 p 和 q 之间不存在与 p 共轭的点。
五. Hawking-Penrose 奇点定理
在 上节 中， 我们介绍了一些在奇点定理研究中常用的有关时空因果性质的结果。 虽然这些结果比较零散， 但有些读者可能已经看出一点思路来了： 我们在 第三节 中曾经证明了， 在适当的条件下， 每条非类空测地线上都存在共轭对； 而在 上节 的末尾我们则开始接近一个相反的结果， 即在另外一些条件下， 某些测地线上不存在共轭对。 这对彼此矛盾的结果正是奇点定理证明的关键。 确切地讲， 奇点定理的证明是要通过这对彼此矛盾的结果来论证以下五个条件不可能同时成立：
时空是测地完备的。
强能量条件成立。
一般性条件成立。
时空满足时序条件。
时空中存在一个非时序点集 S， 使得 E+(S) 与 E-(S) 紧致。
限于篇幅， 我们只能简单叙述一下论证的思路。 在上述五个条件中， 1~3 是 第三节 所介绍的证明奇点定理的第一步所用的条件， 由此推知的是每条非类空测地线上都存在共轭对。 1 和 4 所推知的 - 如上文所述 - 是时空满足强因果条件。 而由强因果条件与 5 则可以证明这样一个结果： 时空中存在一个包含一条未来不可延拓类时曲线 γ 及一条过去不可延拓类时曲线 λ 的全局双曲区域 M。 利用这一结果就可以证明时空中存在一条没有共轭对的非类空测地线。 具体的做法是： 在 λ 上取一个沿过去方向趋于无穷的点集 an， 同时在 γ 上取一个沿未来方向趋于无穷的点集 bn (选取时使得 b1 在 a1 的类时未来， 从而保证所有 bn 都在 an 的类时未来)。 由于 M 是全局双曲的， 因此 - 如上文所述 - 在每一对 an 和 bn 之间都存在一条 (长度最大的) 非类空测地线 μn， 其上在 an 和 bn 之间不存在 an 的共轭点。 可以证明， M 中的这一由非类空测地线 μn 组成的无穷集合必定存在一个 “聚点” μ， 它是一条非类空测地线， 并且其上不存在任何共轭对。 这样， 我们就得到了与第一步所得的 “每条非类空测地线上都存在共轭对” 相矛盾的结论， 从而证明了上述五个条件不可能同时成立。
既然上述五个条件不可能同时成立， 那么我们就可以用其中四个条件为前提 (即假定这四个条件成立)， 来推翻剩下的那个条件[注二]。 Hawking 与 Penrose 所做的是以 2~5 为前提， 来推翻 1， 即证明时空不是测地完备的。 按照我们在 第一节 所作的定义， 这表明时空中存在奇点。 这就是 Hawking 与 Penrose 的奇点定理。
在被奇点定理采用为前提的 2~5 中， 2~4 都有明确的物理意义， 唯独 5 - 即时空中存在一个非时序点集 S， 使得 E+(S) 与 E-(S) 紧致 - 显得很抽象。 幸运的是， 我们可以用一些物理意义更为明确的条件来取代这一抽象的数学条件。 在上文中我们介绍过， 如果强能量条件成立， 则对于任何封闭陷获面 S， E+(S) 与 E-(S) 紧致。 由于强能量条件已经包含在 2~4 中了， 因此我们可以用 “时空中存在封闭陷获面” 来取代 5， 这个条件在物理上可以由足够致密的星体来满足。 除此之外， Hawking 与 Penrose 还提出了另外两个条件来取代 5： 一个是 “时空中存在紧致无边的非时序点集”[注三]， 这个条件在物理上可以由空间上有限无边的宇宙来满足； 另一个是 “时空中存在一个点， 通过该点的所有未来 (或过去) 方向的类光测地线束的膨胀标量 θ 最终将变为负值”， 这个条件在物理上可以由局部膨胀或收缩的宇宙来满足。 这三个都是原则上可以检验， 并且很可能在我们的宇宙中已经得到满足的条件。
至此， 我们可以对 Hawking 与 Penrose 所证明的奇点定理做一个完整的表述：
Hawking-Penrose 奇点定理: 一个时空若满足以下条件， 就必定是非类空测地不完备的 (即存在奇点)：
1. 强能量条件成立。
2. 一般性条件成立。
3. 满足时序条件。
4. 以下三个条件之一成立：
a. 存在封闭陷获面。
b. 存在紧致无边非时序点集。
c. 存在一个点， 通过该点的所有未来 (或过去) 方向的类光测地线束的膨胀标量 θ 最终将变为负值。
这个定理是 Hawking 与 Penrose 于 1970 年提出并证明的。 如我们在上文中所说， 这并不是最早的奇点定理。 Penrose 于 1965 年， Geroch 于 1966 年， Hawking 于 1967 年等都提出过奇点定理。 比较之下， Hawking-Penrose 奇点定理所要求的条件在物理上最容易实现， 并且涵盖面也广， 因此人们提到奇点定理的时侯通常指的就是这一定理[注四]。 Hawking-Penrose 奇点定理不依赖于对称性， 它对于确立广义相对论中奇点的存在性及普遍性来说是非常强有力的， 同时它也是对我们在 能量条件简介的引言 中所介绍的奇点产生原因之争的判决性结论。 但 Hawking-Penrose 奇点定理也有一个显而易见的缺点， 那就是它既无法告诉我们究竟哪一条非类空测地线是不完备的， 也无法提供有关奇点具体性质的信息。 这一缺点为后人加强奇点定理的结论部分留下了空间。 不过要想加强奇点定理的结论部分， 往往不可避免地要对前提部分也予以加强， 从而有损定理的普遍性。
六. 讨论
我们对奇点定理的介绍就要结束了。 有些读者可能会提出这样一个问题： 那就是我们证明 Hawking-Penrose 奇点定理所用的是排除法， 即通过证明测地完备性与奇点定理的四个前提不相容， 来排除测地完备性， 从而确立奇点的存在。 但是， 当一组命题不相容时， 究竟哪个 (或哪几个) 命题应该被排除， 在逻辑上是有很大随意性的[注五]。 因此从逻辑上讲， 由上面介绍的不相容性， 原则上可以通过排除不同的命题， 而得到不同的定理 (请读者自己写上几个看看)。 为什么我们偏偏要选择时空的测地完备性作为被排除的命题， 从而得到 Hawking-Penrose 奇点定理呢？
这是一个非常好的问题。 我们知道， 一个物理上有价值的定理必须能对物理世界作出某种程度的描述。 因此， 在所有逻辑上成立， 并且能进行物理诠释的数学命题中， 只有那些其前提在物理上能够实现的定理才能成为有效的物理定理。 如果已经知道物理世界不满足某一性质， 那么把该性质作为前提的数学命题就不能成为有效的物理定理。 从这个意义上讲， 我们可以通过考察 Hawking-Penrose 奇点定理所涉及的四个前提在物理世界中实现的可能性， 来分析这一定理的合理性。
在 Hawking-Penrose 奇点定理的四个前提中， 前提 4 属于初始及边界条件， 并且实现的可能性极大。 事实上， 早在 Hawking-Penrose 奇点定理提出的年代， 天文观测及理论研究就已经在很大程度上显示出这个前提的三个子条件很可能部分甚至全部得到满足。 前提 1 和 2 与人们在宏观世界的观测经验相符， 因为迄今所知的所有宏观物质的能量动量张量都满足强能量条件， 而现实宇宙中物质 (包括宇宙微波背景辐射) 及引力波的分布无疑遍及全空间， 从而满足一般性条件， 因此在以大尺度宏观世界为主要描述对象的广义相对论中， 这两个前提被认为是适用的。 前提 3 所要求的不存在闭合类时曲线也具有不错的经验基础， 因为时间的单向性是宏观世界中最基本的经验事实之一。 因此所有这四个前提都有其可信赖之处， 但如果一定要在这些前提中找出一个最有可能在现实物理世界中不成立的， 那么 - 如我们将在后文中看到的 - 能量条件 (即前提 1) 将是首选， 因为理论与观测都表明它事实上就不成立。 不过， 能量条件的破坏主要来自量子效应， 而我们所讨论的奇点定理是经典广义相对论中的命题， 两者在所涉范围上有出入。 如果我们不考虑量子效应， 或者说只考虑经典广义相对论， 又有哪一个前提最值得怀疑呢？ 一般认为是时序条件 (即前提 3)。 这一条件要求不存在闭合类时曲线。 它之所以值得怀疑， 主要有两个原因： 一是因为广义相对论的某些特殊解事实上允许闭合类时曲线存在 (参阅 时间旅行: 科学还是幻想？)， 虽然迄今为止那些解还没有一个得到过任何观测上的支持； 二是由于闭合类时曲线实际上是一种抽象的时间机器， 这是一种在很多方面都很引人入胜的东西。 因此有些物理学家把广义相对论没有在原理层面上禁止闭合类时曲线， 视为是一个很值得探索的理论问题。
如果时序条件有可能被破坏， 那就产生了一个很自然的问题： 即我们是否可以通过作一个与 Hawking-Penrose 奇点定理不同的选择， 把测地完备性作为定理的前提之一， 而把时序条件的破坏 (从而允许时空中存在闭合类时曲线) 作为定理的结论呢[注六]？ 对这种可能性物理学家们也进行过一些研究。 1977 年， 美国图兰大学 (Tulane University) 的物理学家 F. Tipler 研究了渐近平直时空中有限大小的闭合类时曲线， 结果发现在强能量条件与一般性条件等条件成立的情况下， 这样的曲线在测地完备时空中是不可能出现的[注七]。 其他一些物理学家后来也做了这方面的研究和推广， 包括使用更弱的条件， 以及推广时序破坏的定义等， 得到的结果都类似。 这些结果成为后来 Hawking 提出所谓时序保护假设 (chronology protection conjecture) 的基础之一。 这些结果表明， 时序条件的破坏在很大程度上本身就意味着测地完备性的破坏， 因而放弃时序条件并不能挽回测地完备性[注八]。 这一结果在一定程度上加强了奇点的不可避免性[注九]， 也进一步支持了 Hawking-Penrose 奇点定理的合理性 - 当然， 所有这一切都限于经典广义相对论的范围。
二零零六年四月二日写于纽约（http://www.changhai.org/）
