递归函数编辑本段回目录
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数论函数的一种,其定义域与值域都是自然数集,只是由于构作函数方法的不同而有别于其他的函数。处处有定义的函数叫做全函数，未必处处有定义的函数叫做部分函数。最简单又最基本的函数有三个:零函数O(x)=0(其值恒为0);射影函数
；后继函数S(x)=x+1。它们合称初始函数。要想由旧函数作出新函数，必须使用各种算子。
代入（又名复合或叠置）是最简单又最重要的造新函数的算子，其一般形状是：由一个m元函数?与m个n元函数 g1,g2,…,gm 造成新函数 ? (g1(x1,x2,…,xn)，g2(x1,x2,…,xn),…,gm(x1,x2，…，xn)),亦可记为?(g1，g2,…,gm)(x1，x2,…,xn)。另一个造新函数的算子是原始递归式。具有n个参数u1，u2,…,un的原始递归式为：
由初始函数出发，经过有限次的代入与原始递归式而作出的函数叫做原始递归函数。由于初始函数显然是全函数且可计算，故原始递归函数都是全函数且可计算。通常使用的数论函数全是原始递归函数，可见原始递归函数是包括很广的。但是W.阿克曼证明了，可以作出一个可计算的全函数，它不是原始递归的。经过后人改进后，这个函数可写为如下定义的阿克曼函数：
另一个重要的造新函数的算子是造逆函数的算子，例如，由加法而造减法，由乘法造除法等。一般，设已有函数?(u,x),就x解方程?(u,x)=t,可得x=g(u,t)。这时函数g叫做?的逆函数。至于解一般方程?(u，t,x)=0而得x＝g(u，t)可以看作求逆函数的推广。解方程可以看作使用求根算子。?(u,t，x)=0的最小x根（如果有根的话），记为μx【?(u,t,x)=0】。当方程没有根时,则认为μx【?(u,t,x)=0】没有定义。可见,即使?(u,t,x)处处有定义且可计算,但使用求根算子后所得的函数μx【?(u,t,x)=0】仍不是全函数,可为部分函数。但只要它有定义，那就必然可以计算。这算子称为μ算子。如果?(u,t,x)本身便是部分函数，则 μx【?(u,t,x)=0】的意义是：当?(u,t,n)可计算且其值为0,而x<n时?(u,t,x)均可计算而其值非0，则 μx【?(u,t,x)=0】指n；其他情况则作为无定义。例如，如果?(u,t,x)=0根本没有根，或者虽然知道有一根为n，但?(u,t,n-1)不可计算,那么 μx【?(u,t,x)=0】都作为没有定义。在这样定义后,只要 μx【?(u,t,x)=0】有值便必可计算。由初始函数出发,经过有穷次使用代入、原始递归式与 μ算子而作成的函数叫做部分递归函数，处处有定义的部分递归函数称为全递归函数，或一般递归函数。
原始递归函数类里还有一个重要的子类称为初等函数类,它是由非负整数与变元经过有穷次加、算术减（即｜α-b｜）、乘、算术除
、叠加Σ、叠乘П而得的函数组成的类。
波兰人A.格热高契克把原始递归函数类按定义的复杂程度来分类，称为格热高契克分层或波兰分层。
要把递归函数应用于谓词，首先要定义谓词的特征函数。谓词R(x,y)的特征函数是
递归函数也可以用来处理符号串。处理的办法是对符号及符号串配以自然数。这方法是K.哥德尔开始引进的，因此称为哥德尔配数法。例如，在要处理的符号系统｛α1，α2，α3,…｝中，可以用奇数1，3，5，7，…作为α1,α2，α3，α4，…的配数，符号串
以
为其配数,其中Ps是第s个素数,nij是αij的配数。这种配数称为哥德尔配数。有了哥德尔配数法，就可以用递归函数来描写、处理有关符号串的谓词了。
；后继函数S(x)=x+1。它们合称初始函数。要想由旧函数作出新函数，必须使用各种算子。 代入（又名复合或叠置）是最简单又最重要的造新函数的算子，其一般形状是：由一个m元函数?与m个n元函数 g1,g2,…,gm 造成新函数 ? (g1(x1,x2,…,xn)，g2(x1,x2,…,xn),…,gm(x1,x2，…，xn)),亦可记为?(g1，g2,…,gm)(x1，x2,…,xn)。另一个造新函数的算子是原始递归式。具有n个参数u1，u2,…,un的原始递归式为：
由初始函数出发，经过有限次的代入与原始递归式而作出的函数叫做原始递归函数。由于初始函数显然是全函数且可计算，故原始递归函数都是全函数且可计算。通常使用的数论函数全是原始递归函数，可见原始递归函数是包括很广的。但是W.阿克曼证明了，可以作出一个可计算的全函数，它不是原始递归的。经过后人改进后，这个函数可写为如下定义的阿克曼函数：
另一个重要的造新函数的算子是造逆函数的算子，例如，由加法而造减法，由乘法造除法等。一般，设已有函数?(u,x),就x解方程?(u,x)=t,可得x=g(u,t)。这时函数g叫做?的逆函数。至于解一般方程?(u，t,x)=0而得x＝g(u，t)可以看作求逆函数的推广。解方程可以看作使用求根算子。?(u,t，x)=0的最小x根（如果有根的话），记为μx【?(u,t,x)=0】。当方程没有根时,则认为μx【?(u,t,x)=0】没有定义。可见,即使?(u,t,x)处处有定义且可计算,但使用求根算子后所得的函数μx【?(u,t,x)=0】仍不是全函数,可为部分函数。但只要它有定义，那就必然可以计算。这算子称为μ算子。如果?(u,t,x)本身便是部分函数，则 μx【?(u,t,x)=0】的意义是：当?(u,t,n)可计算且其值为0,而x<n时?(u,t,x)均可计算而其值非0，则 μx【?(u,t,x)=0】指n；其他情况则作为无定义。例如，如果?(u,t,x)=0根本没有根，或者虽然知道有一根为n，但?(u,t,n-1)不可计算,那么 μx【?(u,t,x)=0】都作为没有定义。在这样定义后,只要 μx【?(u,t,x)=0】有值便必可计算。由初始函数出发,经过有穷次使用代入、原始递归式与 μ算子而作成的函数叫做部分递归函数，处处有定义的部分递归函数称为全递归函数，或一般递归函数。
原始递归函数类里还有一个重要的子类称为初等函数类,它是由非负整数与变元经过有穷次加、算术减（即｜α-b｜）、乘、算术除
、叠加Σ、叠乘П而得的函数组成的类。 波兰人A.格热高契克把原始递归函数类按定义的复杂程度来分类，称为格热高契克分层或波兰分层。
要把递归函数应用于谓词，首先要定义谓词的特征函数。谓词R(x,y)的特征函数是
递归函数也可以用来处理符号串。处理的办法是对符号及符号串配以自然数。这方法是K.哥德尔开始引进的，因此称为哥德尔配数法。例如，在要处理的符号系统｛α1，α2，α3,…｝中，可以用奇数1，3，5，7，…作为α1,α2，α3，α4，…的配数，符号串
以为其配数,其中Ps是第s个素数,nij是αij的配数。这种配数称为哥德尔配数。有了哥德尔配数法，就可以用递归函数来描写、处理有关符号串的谓词了。
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