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用被积函数的有限个抽样值的离散和或加权平均值近似地代替定积分的值。在求函数?(x)的定积分
时，常常无法用初等函数表示原函数
，因此能按牛顿-莱布尼茨公式
数值积分公式 一般是形如
代数精度 若式(2)对?(x)＝xk(k=0,1,…,d)精确成立，亦即E(?)=0，而当?(x)=x
时(2)不再是精确等式，则说求积公式(2)的代数精度是d。根据K.外尔斯特拉斯的多项式逼近定理,就一般的连续函数?而言,d越大E(?)越小，因此可以用代数精度的高低说明求积公式的优劣。
插值型求积公式 通过插值途径构成的求积公式。用?(x)的以x0,x1,…,xm为结点的插值多项式
牛顿-科茨公式 等距结点情形下的权函数为1的内插型求积公式。设［α，b］为有限区间，ω(x)呏1。取
,Aj由式(3)确定，则求积公式
由上述两个求积公式的误差表达式看出，积分区间越小，求积误差就越小。因此为了提高求积精度，可使用复化求积公式。若用分点
将【α,b】n等分,然后对每个子区间【xj,xj+1】应用梯形公式，并对i=0,1,…, n-1求和，即得复化梯形公式 
将【α,b】2n等分,然后对子区间【x2j,x2j+2】应用辛普森公式，并对i=0,1,…，n-1求和，即得复化辛普森公式 
逐次分半算法和龙贝格公式 递推关系和逐次分半算法是数值方法的重要技巧，可用以节省计算时间和计算机的存储量。龙贝格求积方法正是利用逐次分半算法和递推关系构成的一种在现代计算机上十分有效的数值积分法。
下面以梯形公式为例说明逐次分半算法。在整个区间【α,b】上应用梯形公式算出积分近似值T1；将【α,b】二等分,应用n=2的复化梯形公式算出T2；再将每个小区间二等分（即将［α,b］四等分），应用n=4的复化梯形公式算出T4，如此进行,可得T1,T2,T4,…。在计算T2n时可利用已算出的Tn值：
比较复化公式S2n、T2n和Tn发现, 适当地组合T2n与Tn可得到代数精度为3的辛普森公式，即有
呏Tn。上式的代数精度是2k+1。通常称上式为逐次分半加速公式或龙贝格公式。实际计算可按表1
所示进行：当对角线上相邻两个近似值
和
之差的绝对值小于允许误差时，计算即可停止,并取为积分近似值。
高斯型公式 一类具有最高的代数精度的内插型求积公式（表2
）。求积公式(2)含有2(m＋1)个自由参数（xj和Aj），恰当选择这些参数,能使公式(2)的代数精度达到2m+1。高斯求积理论中的一个基本定理断言:只要把结点x0,x1,…,xm取为区间［α,b］上关于权函数 ω(x)的m+1次正交多项式的零点,内插型求积公式(2)即达到最高代数精度2m+1。这里【α，b】可以是有限或无限区间，ω(x)为取正值的权函数。
许多有关数值积分的论著都列举出各种高斯型公式的结点和系数的数值。可以证明：对每个连续函数，当结点个数趋于无穷时，高斯型公式所给出的近似值序列收敛到相应积分的精确值，而牛顿－科茨公式则不具有这种性质。
高维数值积分的主要方法有蒙特卡罗法、代数方法和数论方法。
时，常常无法用初等函数表示原函数，因此能按牛顿-莱布尼茨公式 
(1)
数值积分公式 一般是形如
(2)
代数精度 若式(2)对?(x)＝xk(k=0,1,…,d)精确成立，亦即E(?)=0，而当?(x)=x
时(2)不再是精确等式，则说求积公式(2)的代数精度是d。根据K.外尔斯特拉斯的多项式逼近定理,就一般的连续函数?而言,d越大E(?)越小，因此可以用代数精度的高低说明求积公式的优劣。 插值型求积公式 通过插值途径构成的求积公式。用?(x)的以x0,x1,…,xm为结点的插值多项式
,
,
,
。 (3)
牛顿-科茨公式 等距结点情形下的权函数为1的内插型求积公式。设［α，b］为有限区间，ω(x)呏1。取
,Aj由式(3)确定，则求积公式 
(4)
,
。
，
。
由上述两个求积公式的误差表达式看出，积分区间越小，求积误差就越小。因此为了提高求积精度，可使用复化求积公式。若用分点
将【α,b】n等分,然后对每个子区间【xj,xj+1】应用梯形公式，并对i=0,1,…, n-1求和，即得复化梯形公式 
。
将【α,b】2n等分,然后对子区间【x2j,x2j+2】应用辛普森公式，并对i=0,1,…，n-1求和，即得复化辛普森公式 逐次分半算法和龙贝格公式 递推关系和逐次分半算法是数值方法的重要技巧，可用以节省计算时间和计算机的存储量。龙贝格求积方法正是利用逐次分半算法和递推关系构成的一种在现代计算机上十分有效的数值积分法。
下面以梯形公式为例说明逐次分半算法。在整个区间【α,b】上应用梯形公式算出积分近似值T1；将【α,b】二等分,应用n=2的复化梯形公式算出T2；再将每个小区间二等分（即将［α,b］四等分），应用n=4的复化梯形公式算出T4，如此进行,可得T1,T2,T4,…。在计算T2n时可利用已算出的Tn值：
,
比较复化公式S2n、T2n和Tn发现, 适当地组合T2n与Tn可得到代数精度为3的辛普森公式，即有
呏Tn。上式的代数精度是2k+1。通常称上式为逐次分半加速公式或龙贝格公式。实际计算可按表1所示进行：当对角线上相邻两个近似值和之差的绝对值小于允许误差时，计算即可停止,并取为积分近似值。 高斯型公式 一类具有最高的代数精度的内插型求积公式（表2
）。求积公式(2)含有2(m＋1)个自由参数（xj和Aj），恰当选择这些参数,能使公式(2)的代数精度达到2m+1。高斯求积理论中的一个基本定理断言:只要把结点x0,x1,…,xm取为区间［α,b］上关于权函数 ω(x)的m+1次正交多项式的零点,内插型求积公式(2)即达到最高代数精度2m+1。这里【α，b】可以是有限或无限区间，ω(x)为取正值的权函数。 许多有关数值积分的论著都列举出各种高斯型公式的结点和系数的数值。可以证明：对每个连续函数，当结点个数趋于无穷时，高斯型公式所给出的近似值序列收敛到相应积分的精确值，而牛顿－科茨公式则不具有这种性质。
高维数值积分的主要方法有蒙特卡罗法、代数方法和数论方法。
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