第二定义编辑本段回目录
平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数。定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线,常数e是双曲线的离心率。
?注意：定点要在直线外；比值大于1
?双曲线的标准方程为(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1
?其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2,动点与两个定点距离之差的绝对值为定值2a
几何性质编辑本段回目录
（1）范围
由标准方程 ，可得x2≥a2，当|x|≥a时，y才有实数值；对于y的任何值，x都有实数值．要讲情在x＝－a，x＝a之
（2）顶点
双曲线 有两个顶点（a，0），（－a，0）．令x＝0时，方程y2＝－b2无实数根，所以它与y轴无交点，2b是双曲线的虚轴的长．
（3）对称性
双曲线的对称性与椭圆完全相同，可逐一提问，让学生回答双曲线的对称性，并说明原因．
（4）渐近线
对圆锥曲线来说，这是双曲线特有的性质．在远离双曲线的中心时，双曲线的渐近线几乎成为双曲线的“代表”，“双曲线是直线？”在徒手画双曲线时双曲线的渐近线指导意义更为突出．
若曲线上某一点到某条直线的距离为d，当点趋向于无穷远时，d能趋近于0，则这条直线称为该曲线的渐近线．
首先可以看到，由双曲线的标准方程解出
y＝± ＝± x ，
当x无限增大时， 趋向于0，也就是说，这时双曲线y＝± 与直线y＝± x无限接近．这使我们有理由猜想直线y＝± x为双曲线的渐近线．至于在第一象限内，当x无限增大时，双曲线上的点M（x，y）到直线y＝± x的距离是否趋向于0。
如图，设点M到直线y＝± x 的距离为|MQ|，在Rt△MQN中，若斜边的长趋近于0，当然直角边的长也趋近于0，所以当|MN|→0时，立刻可得|MQ|→0，这就证明了当x无限增大时，点M到直线y＝± x的距离趋近于0．
（5）离心率
与椭圆一样，我们把比值e＝ 叫做双曲线的离心率，椭圆的离心率是描述椭圆扁平程度的一个重要数据，双曲线的离心率是描述双曲线“张口”大小的一个重要数据．由于上 ＝ ，当e的值从接近于 1逐渐增大时， 的值就从接近于 0逐渐增大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔，就是说双曲线的“张口”逐渐增大．
标准公式编辑本段回目录
X^2/a^2-Y^2/b^2=1(a>0,b>0)
而反比例函数的标准型是xy=c(c≠0)
但是反比例函数确实是双曲线函数经过旋转得到的
因为xy=c的对称轴是y=x,y=-x而X^2/a^2-Y^2/b^2=1的对称轴是x=0,y=0
所以应该旋转45度
设旋转的角度为a（a≠0,顺时针）
(a为双曲线渐进线的倾斜角)
则有
X=xcosa+ysina
Y=-xsina+ycosa
取a=π/4
则
X^2-Y^2=(xcos(π/4)+ysin(π/4))^2-(xsin(π/4)-ycos(π/4))^2
=(√2/2x+√2/2y)^2-(√2/2x-√2/2y)^2
=4(√2/2x)(√2/2y)
=2xy.
而xy=c
所以
X^2/(2c)-Y^2/(2c)=1(c>0)
Y^2/(-2c)-X^2/(-2c)=1(c<0)
由此证得，反比例函数其实就是双曲线函数
