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  微分几何学研究的主要对象之一。直观上,曲线可看成空间质点运动的轨迹。曲线的更严格的定义是区间【αb)】到E3中的映射r:【α,b)】→E3。有时也把这映射的像称为曲线。具体地说,设Oxyz是欧氏空间E3中的笛卡儿直角坐标系,r为曲线C上点的向径,于是有

曲线

上式称为曲线C的参数方程,t称为曲线C的参数,并且按照参数增加的方向自然地确定了曲线C的正向(图1曲线)。曲线论中常讨论正则曲线,即其三个坐标函数x(t),y(t),z(t)的导数均连续且对任意t不同时为零的曲线。对于正则曲线,总可取其弧长s作为参数,它称为自然参数或弧长参数。弧长参数s用

曲线

来定义,它表示曲线Cr(α)到r(t)之间的长度,以下还假定曲线C的坐标函数都具有三阶连续导数,即曲线是C3阶的。
      

曲 线 的 局 部 性 质


  曲线论的基本公式  设正则曲线C的参数方程为rr(s),s是弧长参数,p(s)是曲线C上参数为s即向径为r(s)的一个定点。Q(s+Δs)为C上邻近p的点,Q沿曲线C趋近于p时,割线pQ的极限位置称为曲线Cp点的切线。过p点与切线垂直的平面称为曲线 Cp点的法平面。曲线Cp点的切线及C上邻近点R确定一个平面σ,σ的极限位置称为曲线Cp点的密切平面,它在p点的法线称为曲线Cp点的次法线,曲线Cp点的切线和次法线决定的平面称为曲线Cp点的从切平面。p点的法线称为曲线Cp点的主法线(图2)。

曲线

  以"·"表示关于弧长参数s的导数,并且设曲线那么曲线b(s)=t(s)×n(s)分别是曲线Cp(s)点的切线、主法线和次法线上的单位向量,并且t(s)指向曲线 C的正向。n(s)指向曲线凹入的一方。t(s)、n(s)和b(s)按此顺序构成右手系,且分别称为曲线Cp(s)点的切向量、主法向量和次法向量。{r(s),t(s),n(s),b(s)}称为曲线Cp(s)点的弗雷内标架。
  曲线 C的每一点都有弗雷内标架。为研究曲线上两个邻近点上弗雷内标架之间的变换关系,要讨论t(s)、n(s)和b(s)关于s的导向量,它们可由标架向量线性表出,这就是下述曲线论的基本公式(弗雷内公式):

曲线

式中k(s)和τ(s)分别被称为曲线Cp(s)点的曲率和挠率。
  曲率  曲率

曲线

这里曲线是切向量 t(s)和t(s+Δs)之间的夹角。故曲率度量了曲线上相邻两点的切向量的夹角关于弧长的变化率。直线的曲率恒为 0。圆周的曲率等于其半径的倒数。当曲线Cp(s)点的曲率k≠0时,在p(s)点的主法线上沿n(s)的正向取点Q,使得pQ=1/k,在p点的密切平面上以Q为中心,1/k为半径的圆称为曲线Cp点的曲率圆或密切圆,Q和1/k分别称为曲率中心和曲率半径。密切圆是过曲线Cp(s)点和邻近两点的圆的极限位置。
  挠率  挠率曲线,它的绝对值曲线曲线 度量了曲线上邻近两点的次法向量之间的夹角对弧长的变化率。平面曲线是挠率恒为零的曲线。空间曲线如不是落在一平面上,则称为挠曲线。
  若p0(s0)点的曲率和挠率均不为零,取p0为原点,曲线的切线、主法线和次法线为坐标轴,在p0附近,曲线可近似地表示为:

曲线

所以曲线Cp0点邻近的近似形状如图 3所示。

曲线

  曲线论的基本定理  曲线的弧长s、曲率k(s)和挠率τ(s)是运动的不变量。反过来,曲线的曲率和挠率也完全决定了曲线的形态。具体地说,如果给定了两个连续函数k(s)>0和τ(s),s∈【α,b)】,则存在以k(s)和τ(s)分别为其曲率和挠率的曲线,并且这些曲线经过空间的一个运动可以互相叠合。
        

特 殊 曲 线


  平面曲线  挠率恒为零的曲线为平面曲线。设Oxy为欧氏平面E 2的笛卡儿直角坐标系,则平面曲线C的参数方程为rr(s)=(x(s),y(s)),s为弧长参数,弗雷内公式可写成

曲线

这里nr是单位法向量,使t(s)到nr(s)的有向角为曲线/2。kr(s)称为相对曲率,kr>0和kr<0分别表示曲线向左转和向右转(图4)。

曲线

  螺线  C为挠曲线,若其曲率和挠率具有固定比值,称为螺线。它的特征是切线与一固定方向作成定角。特别,如果曲率和挠率均为非零常数,那么C是圆柱螺线,即它在圆柱面上且与直母线作固定角。它是质点绕一条直线(螺旋轴)等速旋转且又沿这轴线方向等速移动时的轨迹。
  贝特朗曲线  挠曲线C若满足λk(s)+μtau;(s)=1,其中λμ为常数且λ>0,称为贝特朗曲线。这样的曲线可与另一条曲线曲线建立一一对应关系,使在对应点的主法线重合。反之,这个性质也是曲线成为贝特朗曲线的充分条件。这样的C曲线中的每一条都称为另一条的侣线。两条贝特朗侣线在其对应点的切线作固定角。
  渐缩线与渐伸线  曲线C1的切线为另一条曲线C2的法线,则C1称为C2的渐缩线或渐屈线,C2称为C1的渐伸线或渐开线。可以证明与齿廓曲线为渐伸线的齿轮相啮合的齿轮的齿廓曲线也是渐伸线,通常齿轮的齿廓曲线都采用圆的渐伸线。
       

曲 线 的 整 体 性 质


   以曲线的全部或确定的一段作为研究对象时,就得到曲线的整体的几何性质。设曲线C的参数方程为r=r(s),s∈【α,b)】,s为弧长参数,若其始点和终点重合r(α)=r(b)),这时曲线是闭合的,称为闭曲线。若它在这点的切向量重合,即r┡(α)=r┡(b)),且自身不再相交,则称为简单闭曲线。对于正则闭曲线C,把它的切向量t(s)的始点放在原点,t(s)的终点轨迹是单位球面上的一条闭曲线,它称为曲线C的切线像或切线标形。C的切线像的长度为

曲线

等式右方是闭曲线C的曲率k(s)沿C的积分,自然就称为曲线C的全曲率,以曲线表示。正则闭曲线的全曲率等于其切线像的长度。关于正则闭曲线的全曲率的界限有下述二定理。
  芬切尔定理  正则闭曲线C的全曲率曲线≥2曲线,且等号仅当 C为平面凸闭曲线时成立。这定理给出了正则闭曲线的全曲率的下限,白正国将此定理推广到分段光滑的闭曲线。
  法里-米尔诺定理  简单正则有结空间闭曲线(图5曲线)的全曲率曲线>4曲线
  闭曲线C的挠率τ(s)沿自身的积分

曲线

自然就称为C的全挠率。球面上闭曲线的全挠率等于零,反之,如果非平面的曲面上任意闭曲线的全挠率都等于零,那么这曲面为球面或其一部分。
  设 C为平面正则闭曲线,则当点绕C一周时,曲线C的切线像t(s)将在单位圆周上绕若干圈,这个圈数ir(以逆时针向环绕时圈数为正,顺时针向时为负)称为C的旋转指标(图6曲线),可算得

曲线

这里kr(s)是C 的相对曲率。切线回转定理表明:平面简单正则闭曲线的旋转指标ir等于±1。
  将平面上一条定长的细绳首尾相接而构成一条简单闭曲线,它把平面分成以其为公共边界的二个部分,它所围成的区域的面积为最大时,其形状是圆周。有如下更精确的结论:设曲线C是长度为L的平面正则简单闭曲线,AC所围区域的面积,那么L2-4曲线A≥0,并且等号当且仅当C是圆周时成立。上述不等式有过种种的推广,这类问题叫做等周问题。对于平面曲线,与空间曲线论基本定理相仿,它的形态由其相对曲率kr(s)所确定,故kr(s)的极值自然是令人感兴趣的。相对曲率 kr(s)的逗留点,即曲线的点称为曲线的顶点,对于凸闭曲线,即位于其上每一点的切线的一侧的曲线,成立著名的四顶点定理:平面凸闭曲线至少有四个顶点,因为椭圆只有四个顶点,所以这个结论不能再改进。此外,还可以利用柯西-克罗夫顿公式来计算平面正则曲线的长度(见积分几何学)。
  参考书目
 苏步青等编:《微分几何》,人民教育出版社,北京,1979。
 吴大任编:《微分几何讲义》,第4版,人民教育出版社,北京,1981。
 M.P.Do Carmo,Differential Geometry of Curves and Surface,Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1976.

 

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