微分几何学研究的主要对象之一。直观上,曲线可看成空间质点运动的轨迹。曲线的更严格的定义是区间【
α,
b)】到
E3中的映射
r:【
α,
b)】→
E3。有时也把这映射的像称为曲线。具体地说,设
Oxyz是欧氏空间
E3中的笛卡儿直角坐标系,
r为曲线
C上点的向径,于是有
。
上式称为曲线
C的参数方程,
t称为曲线
C的参数,并且按照参数增加的方向自然地确定了曲线
C的正向(图1
![曲线 曲线](http://a4.att.hudong.com/75/15/01000000000000119081543897175_s.jpg)
)。曲线论中常讨论正则曲线,即其三个坐标函数
x(
t),
y(
t),
z(
t)的导数均连续且对任意
t不同时为零的曲线。对于正则曲线,总可取其弧长s作为参数,它称为自然参数或弧长参数。弧长参数s用
![曲线 曲线](http://a4.att.hudong.com/59/15/01000000000000119081543914959_s.gif)
来定义,它表示曲线
C从
r(
α)到
r(
t)之间的长度,以下还假定曲线
C的坐标函数都具有三阶连续导数,即曲线是
C3阶的。
曲 线 的 局 部 性 质
曲线论的基本公式 设正则曲线
C的参数方程为
r=
r(s),s是弧长参数,
p(s)是曲线
C上参数为s即向径为
r(s)的一个定点。
Q(s+Δs)为
C上邻近
p的点,
Q沿曲线
C趋近于
p时,割线
pQ的极限位置称为曲线
C在
p点的切线。过
p点与切线垂直的平面称为曲线
C在
p点的法平面。曲线
C在
p点的切线及
C上邻近点
R确定一个平面
σ,
σ的极限位置称为曲线
C在
p点的密切平面,它在
p点的法线称为曲线
C在
p点的次法线,曲线
C在
p点的切线和次法线决定的平面称为曲线
C在
p点的从切平面。
p点的法线称为曲线
C在
p点的主法线(图2)。
![曲线 曲线](http://a3.att.hudong.com/06/15/01000000000000119081543922106_s.jpg)
以"·"表示关于弧长参数s的导数,并且设
![曲线 曲线](http://a1.att.hudong.com/51/15/01000000000000119081543941851_s.gif)
那么
![曲线 曲线](http://a3.att.hudong.com/79/15/01000000000000119081543944079_s.gif)
和
b(s)=
t(s)×
n(s)分别是曲线
C在
p(s)点的切线、主法线和次法线上的单位向量,并且
t(s)指向曲线
C的正向。
n(s)指向曲线凹入的一方。
t(s)、
n(s)和
b(s)按此顺序构成右手系,且分别称为曲线
C在
p(s)点的切向量、主法向量和次法向量。{
r(s),
t(s),
n(s),
b(s)}称为曲线
C在
p(s)点的弗雷内标架。
曲线
C的每一点都有弗雷内标架。为研究曲线上两个邻近点上弗雷内标架之间的变换关系,要讨论
t(s)、
n(s)和
b(s)关于s的导向量,它们可由标架向量线性表出,这就是下述曲线论的基本公式(弗雷内公式):
![曲线 曲线](http://a1.att.hudong.com/89/15/01000000000000119081543947089_s.gif)
式中
k(s)和
τ(s)分别被称为曲线
C在
p(s)点的曲率和挠率。
曲率 曲率
![曲线 曲线](http://a0.att.hudong.com/96/07/01000000000000119080741065296_s.gif)
这里
![曲线 曲线](http://a1.att.hudong.com/69/15/01000000000000119081543948969_s.gif)
是切向量
t(s)和
t(s+Δs)之间的夹角。故曲率度量了曲线上相邻两点的切向量的夹角关于弧长的变化率。直线的曲率恒为 0。圆周的曲率等于其半径的倒数。当曲线
C在
p(s)点的曲率
k≠0时,在
p(s)点的主法线上沿
n(s)的正向取点
Q,使得
pQ=1/
k,在
p点的密切平面上以
Q为中心,1/
k为半径的圆称为曲线
C在
p点的曲率圆或密切圆,
Q和1/
k分别称为曲率中心和曲率半径。密切圆是过曲线
C上
p(s)点和邻近两点的圆的极限位置。
挠率 挠率
![曲线 曲线](http://a0.att.hudong.com/93/15/01000000000000119081543949893_s.gif)
,它的绝对值
![曲线 曲线](http://a4.att.hudong.com/62/15/01000000000000119081543952462_s.gif)
![曲线 曲线](http://a0.att.hudong.com/38/15/01000000000000119081543955438_s.gif)
度量了曲线上邻近两点的次法向量之间的夹角对弧长的变化率。平面曲线是挠率恒为零的曲线。空间曲线如不是落在一平面上,则称为挠曲线。
若
p0(s
0)点的曲率和挠率均不为零,取
p0为原点,曲线的切线、主法线和次法线为坐标轴,在
p0附近,曲线可近似地表示为:
![曲线 曲线](http://a3.att.hudong.com/31/13/01000000000000119081373654731_s.gif)
所以曲线
C在
p0点邻近的近似形状如图 3所示。
![曲线 曲线](http://a1.att.hudong.com/45/15/01000000000000119081543959745_s.jpg)
曲线论的基本定理 曲线的弧长s、曲率
k(s)和挠率
τ(s)是运动的不变量。反过来,曲线的曲率和挠率也完全决定了曲线的形态。具体地说,如果给定了两个连续函数
k(s)>0和
τ(s),s∈【
α,
b)】,则存在以
k(s)和
τ(s)分别为其曲率和挠率的曲线,并且这些曲线经过空间的一个运动可以互相叠合。
特 殊 曲 线
平面曲线 挠率恒为零的曲线为平面曲线。设
Oxy为欧氏平面
E 2的笛卡儿直角坐标系,则平面曲线
C的参数方程为
r=
r(s)=(
x(s),
y(s)),s为弧长参数,弗雷内公式可写成
![曲线 曲线](http://a1.att.hudong.com/12/15/01000000000000119081543969312_s.gif)
这里
nr是单位法向量,使
t(s)到
nr(s)的有向角为
![曲线 曲线](http://a0.att.hudong.com/98/15/01000000000000119081543971598_s.gif)
/2。
kr(s)称为相对曲率,
kr>0和
kr<0分别表示曲线向左转和向右转(图4)。
![曲线 曲线](http://a4.att.hudong.com/68/15/01000000000000119081543974668_s.jpg)
螺线 C为挠曲线,若其曲率和挠率具有固定比值,称为螺线。它的特征是切线与一固定方向作成定角。特别,如果曲率和挠率均为非零常数,那么
C是圆柱螺线,即它在圆柱面上且与直母线作固定角。它是质点绕一条直线(螺旋轴)等速旋转且又沿这轴线方向等速移动时的轨迹。
贝特朗曲线 挠曲线
C若满足
λk(
s)+
μtau;(
s)=1,其中
λ、
μ为常数且
λ>0,称为贝特朗曲线。这样的曲线可与另一条曲线
![曲线 曲线](http://a4.att.hudong.com/15/15/01000000000000119081543982815_s.gif)
建立一一对应关系,使在对应点的主法线重合。反之,这个性质也是曲线成为贝特朗曲线的充分条件。这样的
C和
![曲线 曲线](http://a4.att.hudong.com/15/15/01000000000000119081543982815_s.gif)
中的每一条都称为另一条的侣线。两条贝特朗侣线在其对应点的切线作固定角。
渐缩线与渐伸线 曲线
C1的切线为另一条曲线
C2的法线,则
C1称为
C2的渐缩线或渐屈线,
C2称为
C1的渐伸线或渐开线。可以证明与齿廓曲线为渐伸线的齿轮相啮合的齿轮的齿廓曲线也是渐伸线,通常齿轮的齿廓曲线都采用圆的渐伸线。
曲 线 的 整 体 性 质
以曲线的全部或确定的一段作为研究对象时,就得到曲线的整体的几何性质。设曲线
C的参数方程为
r=
r(s),s∈【
α,
b)】,s为弧长参数,若其始点和终点重合
r(
α)=
r(
b)),这时曲线是闭合的,称为闭曲线。若它在这点的切向量重合,即
r┡(
α)=
r┡(
b)),且自身不再相交,则称为简单闭曲线。对于正则闭曲线
C,把它的切向量
t(s)的始点放在原点,
t(s)的终点轨迹是单位球面上的一条闭曲线,它称为曲线
C的切线像或切线标形。
C的切线像的长度为
![曲线 曲线](http://a2.att.hudong.com/48/13/01000000000000119081373658048_s.gif)
等式右方是闭曲线
C的曲率
k(s)沿
C的积分,自然就称为曲线
C的全曲率,以
![曲线 曲线](http://a2.att.hudong.com/83/15/01000000000000119081543984283_s.gif)
表示。正则闭曲线的全曲率等于其切线像的长度。关于正则闭曲线的全曲率的界限有下述二定理。
芬切尔定理 正则闭曲线
C的全曲率
![曲线 曲线](http://a2.att.hudong.com/83/15/01000000000000119081543984283_s.gif)
≥2
![曲线 曲线](http://a0.att.hudong.com/98/15/01000000000000119081543971598_s.gif)
,且等号仅当
C为平面凸闭曲线时成立。这定理给出了正则闭曲线的全曲率的下限,白正国将此定理推广到分段光滑的闭曲线。
法里-米尔诺定理 简单正则有结空间闭曲线(图5
![曲线 曲线](http://a0.att.hudong.com/23/15/01000000000000119081543987823_s.jpg)
)的全曲率
![曲线 曲线](http://a2.att.hudong.com/83/15/01000000000000119081543984283_s.gif)
>4
![曲线 曲线](http://a0.att.hudong.com/98/15/01000000000000119081543971598_s.gif)
。
闭曲线
C的挠率
τ(s)沿自身的积分
![曲线 曲线](http://a3.att.hudong.com/49/14/01000000000000119081436409949_s.gif)
自然就称为
C的全挠率。球面上闭曲线的全挠率等于零,反之,如果非平面的曲面上任意闭曲线的全挠率都等于零,那么这曲面为球面或其一部分。
设
C为平面正则闭曲线,则当点绕
C一周时,曲线
C的切线像
t(s)将在单位圆周上绕若干圈,这个圈数
ir(以逆时针向环绕时圈数为正,顺时针向时为负)称为
C的旋转指标(图6
![曲线 曲线](http://a4.att.hudong.com/50/15/01000000000000119081544001450_s.jpg)
),可算得
,
这里
kr(s)是
C 的相对曲率。切线回转定理表明:平面简单正则闭曲线的旋转指标
ir等于±1。
将平面上一条定长的细绳首尾相接而构成一条简单闭曲线,它把平面分成以其为公共边界的二个部分,它所围成的区域的面积为最大时,其形状是圆周。有如下更精确的结论:设曲线
C是长度为
L的平面正则简单闭曲线,
A是
C所围区域的面积,那么
L2-4
A≥0,并且等号当且仅当
C是圆周时成立。上述不等式有过种种的推广,这类问题叫做等周问题。对于平面曲线,与空间曲线论基本定理相仿,它的形态由其相对曲率
kr(s)所确定,故
kr(s)的极值自然是令人感兴趣的。相对曲率
kr(s)的逗留点,即
![曲线 曲线](http://a1.att.hudong.com/66/15/01000000000000119081544019066_s.gif)
的点称为曲线的顶点,对于凸闭曲线,即位于其上每一点的切线的一侧的曲线,成立著名的四顶点定理:平面凸闭曲线至少有四个顶点,因为椭圆只有四个顶点,所以这个结论不能再改进。此外,还可以利用柯西-克罗夫顿公式来计算平面正则曲线的长度(见
积分几何学)。
参考书目
苏步青等编:《微分几何》,人民教育出版社,北京,1979。
吴大任编:《微分几何讲义》,第4版,人民教育出版社,北京,1981。
M.P.Do Carmo,Differential Geometry of Curves and Surface,Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1976.