数论 |
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在《算术探讨》中,高斯把过去研究整数性质所用的符号标准化了 |
自古以来,数学家对于整数性质的研究一直十分重视,但是直到十九世纪,这些研究成果还只是孤立地记载在各个时期的算术著作中,也就是说还没有形成完整统一的学科。
自中国古代,许多著名的数学著作中都关于数论内容的论述,比如求最大公约数、勾股数组、某些不定方程整数解的问题等等。在国外,古希腊时代的数学家对于数论中一个最基本的问题——整除性问题就有系统的研究,关于质数、和数、约数、倍数等一系列概念也已经被提出来应用了。后来的各个时代的数学家也都对整数性质的研究做出过重大的贡献,使数论的基本理论逐步得到完善。
在整数性质的研究中,人们发现质数是构成正整数的基本“材料”,要深入研究整数的性质就必须研究质数的性质。因此关于质数性质的有关问题,一直受到数学家的关注。
到了十八世纪末,历代数学家积累的关于整数性质零散的知识已经十分丰富了,把它们整理加工成为一门系统的学科的条件已经完全成熟了。德国数学家高斯集中前人的大成,写了一本书叫做《算术探讨》,1800年寄给了法国科学院,但是法国科学院拒绝了高斯的这部杰作,高斯只好在1801年自己发表了这部著作。这部书开始了现代数论的新纪元。
在《算术探讨》中,高斯把过去研究整数性质所用的符号标准化了,把当时现存的定理系统化并进行了推广,把要研究的问题和意志的方法进行了分类,还引进了新的方法。
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相关书籍 |
解析数论是使用数学分析作为工具来解决数论问题的分支。数学分析是以函数作为研究对象的、在极限概念的基础上建立起来的数学学科。用数学分析来解决数论问题是由欧拉奠基的,俄国数学家车比雪夫等也对它的发展做出过贡献。解析数论是解决数论中艰深问题的强有力的工具。比如,对于“质数有无限多个”这个命题,欧拉给出了解析方法的证明,其中利用了数学分析中有关无穷级数的若干知识。二十世纪三十年代,苏联数学家维诺格拉多夫创造性的提出了“三角和方法”,这个方法对于解决某些数论难题有着重要的作用。中国数学家陈景润在解决“哥德巴赫猜想”问题中也使用的是解析数论的方法。
代数数论是把整数的概念推广到代数整数的一个分支。数学家把整数概念推广到一般代数数域上去,相应地也建立了素整数、可除性等概念。数论的一个重要分支。它以代数整数,或者代数数域为研究对象,不少整数问题的解决要借助于或者归结为代数整数的研究。因之,代数数论也是整数研究的一个自然的发展。代数数论的发展也推动了代数学的发展。 代数数论主要起源于费马大定理的研究。法国数学家P.de费马在学习与翻译丢番图的《算术》一书时,在书边上写下了著名的"大定理",即方程xn yn=zn(n>2)没有xyz≠0的整数解。他说他已得到了这个结果的证明,由于地方太小而未写下。可是直到,三百多年来经过许多数学家的努力,这个“大定理”还没有能够得到证明。 容易看出,这个结果的证明,可以归结到n=4以及n为奇素数的情形。费马本人给出了n=4的证明,L.欧拉与A.-M.勒让德证明了n=3的情形,P.G.L.狄利克雷证明了n=5的情形。虽然对于许多奇素数,人们已经证明了这个结果,但始终没有得到一个一般的证明。
几何数论是由德国数学家、物理学家闵可夫斯基等人开创和奠基的。几何数论研究的基本对象是“空间格网”。什么是空间格网呢?在给定的直角坐标系上,坐标全是整数的点,叫做整点;全部整点构成的组就叫做空间格网。空间格网对几何学和结晶学有着重大的意义。由于几何数论涉及的问题比较复杂,必须具有相当的数学基础才能深入研究。
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陈景润(图)在1966年证明“歌德巴赫猜想”,在国际数学引起了强烈的反响 |
由于近代计算机科学和应用数学的发展,数论得到了广泛的应用。比如在计算方法、代数编码、组合论等方面都广泛使用了初等数论范围内的许多研究成果;又文献报道,有些国家应用“孙子定理”来进行测距,用原根和指数来计算离散傅立叶变换等。此外,数论的许多比较深刻的研究成果也在近似分析、差集合、快速变换等方面得到了应用。特别是由于计算机的发展,用离散量的计算去逼近连续量而达到所要求的精度已成为可能。
数论在数学中的地位是独特的,高斯曾经说过“数学是科学的皇后,数论是数学中的皇冠”。因此,数学家都喜欢把数论中一些悬而未决的疑难问题,叫做“皇冠上的明珠”,以鼓励人们去“摘取”。下面简要列出几颗“明珠”:费尔马大定理、孪生素数问题、歌德巴赫猜想、梅森素数问题……
在中国近代,数论也是发展最早的数学分支之一。从二十世纪三十年代开始,在解析数论、刁藩都方程、一致分布等方面都有过重要的贡献,出现了华罗庚、闵嗣鹤、柯召等第一流的数论专家。其中华罗庚教授在三角和估值、堆砌素数论方面的研究是享有盛名的。1949年以后,数论的研究的得到了更大的发展。特别是在“筛法”和“歌德巴赫猜想”方面的研究,已取得世界领先的优秀成绩。
特别是陈景润在1966年证明“歌德巴赫猜想”的“一个大偶数可以表示为一个素数和一个不超过两个素数的乘积之和”以后,在国际数学引起了强烈的反响,盛赞陈景润的论文是解析数学的名作,是筛法的光辉顶点。至今,这仍是“歌德巴赫猜想”的最好结果;周海中在著名数论难题——梅森素数分布的研究中取得了世界领先的卓著成绩。
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相关书籍 |
初等数论 意指使用不超过高中程度的初等代数处理的数论问题,最主要的工具包括整数的整除性与同余。重要的结论包括中国剩余定理、费马小定理、二次互逆律等等。
解析数论 借助微积分及复分析的技术来研究关於整数的问题,主要又可以分为积性数论与加性数论两类。积性数论藉由研究积性生成函数的性质来探讨质数分布的问题,其中质数定理与狄利克雷定理为这个领域中最著名的古典成果。加性数论则是研究整数的加法分解之可能性与表示的问题,华林问题是该领域最著名的课题。此外例如筛法、圆法等等都是属于这个范畴的重要议题。
代数数论 引申代数数的话题,关于代数整数的研究,主要的研究目标是为了更一般地解决不定方程的问题,而为了达到此目的,这个领域与代数几何之间的关联尤其紧密。
几何数论 主要在于透过几何观点研究整数(在此即格子点)的分布情形。最著名的定理为Minkowski 定理。
计算数论 借助电脑的算法帮助数论的问题,例如素数测试和因数分解等和密码学息息相关的话题。
超越数论 研究数的超越性,其中对于欧拉常数与特定的 Zeta 函数值之研究尤其令人感到兴趣。
组合数论 利用组合和机率的技巧,非构造性地证明某些无法用初等方式处理的复杂结论。这是由艾狄胥开创的思路。