1914年10月21日，马丁·加德纳（Martin Gardner)生于美国俄克拉何马州。1936年毕业于芝加哥大学，学的专业是哲学。毕业后先当《民友报》记者，后来在芝加哥大学公众关系部工作。第二次世界大战爆发后，他在美国海军中担任随军记者，曾到过印度、菲津宾、东南亚、土耳其与中、近东许多国家和地区，见闻甚广。战后，他开始了自由撰稿人的生涯。马丁·加德纳才华横溢，思如泉涌，博闻强记，文理双栖，据不完全统计，迄今已写了五十本以上的书，其代表作有《密码传奇》、《人人都能懂得的相对沦》、《表里不一的宇宙》、《好科学、坏科学、伪科学》、《不可思议的矩阵博士》、《数学狂欢节》、《啊哈？灵机一动》、《从惊讶到思考——数学悖论奇景》等。
马丁·加德纳曾多次获得过重奖。他连获美国物理学会及美国钢铁基金会的优秀科学作者奖（美国一般都把科普作家称为“科学作者”），他的肖像曾在《生活》杂志及《新利周报》上刊登过。尽管他从来没有当过教授，但世界各国许多第一流的数学家一听到他的名字，都无不肃然起敬。总而言之，他是一名大名鼎鼎的人物。
个人介绍编辑本段回目录
他没有数学博士学位，但是他的作品能让数学家也为之着迷；他曾经是原教旨主义者，然而现在他是一个伟大的无神论者；他精通魔术，并且擅揭露长形形色色的伪科学；有些人抱怨他的批评严厉、呆板、无趣，然而在生活中他是一个羞涩而低调的人；他的作品带领读者在世界各地神游，但是他本人却在长年住在北加利福尼亚的家中，很少出门；他已经写了上百本书——也许只有科普作家阿西莫夫的作品数量能超过他——其中甚至还包括童话！如果要我在10秒钟里写出世界上最著名的几位科普作家，除了卡尔·萨根、艾萨克·阿西莫夫、理查德·道金斯之外，这个名字肯定会出现在这份名单里。
他就是在美国几乎家喻户晓的马丁·加德纳（Martin Gardner）。
加德纳1914年生于俄克拉荷马州的塔尔萨（Tulsa）。1936年，他毕业于芝加哥大学哲学系。在进入大学之前，他是一个新教原教旨主义者，相信上帝在7日之内创造了世界。通过理性的思考，在大学中他的信仰消失了，在随后的年月中，他成了一位怀疑论者（在美国，怀疑论者差不多就是无神论者的代名词）。毕业后他在家乡的报社担任记者。第二次世界大战期间他成为了美国海军的随军记者。战后，他继续从事自由撰稿人和编辑的工作。
1957年，加德纳在《科学美国人》杂志上开设了一个数学游戏专栏，这个专栏一直延续了1/4个世纪，直到1981年才宣告结束。正是这个专栏确定了加德纳在趣味数学领域的地位。
在普通人眼中，数学往往是高深莫测、枯燥乏味的。而在加德纳的笔下，一个个抽象的数学问题变得趣味十足。例如，在1961年5月份的《科学美国人》杂志上，加德纳给出了一个奇怪的图形（见下图）：把一个三角形分割成特定的4块然后重新组合，新的三角形与原来的三角形形状相同。我可以向艾萨克·牛顿爵士发誓：在拼接过程中绝没有做任何手脚，然而第二个三角形看上去竟然缺少了一格的面积！顺便说，我经常在网上看见这道题，然而恐怕很少有人知道它是加德纳的杰作。
这些趣味数学题尽管本身不是什么高深的理论，然而加德纳总是能借其引出一些只有在大学才能学习到的数学理论，例如微积分、数列、拓扑学、群论、概率论等等。很多青少年正是因为加德纳的趣味数学题才对数学产生了兴趣。他还常常在《科学美国人》的专栏上向大众介绍最新的数学成果。例如，1977年他介绍了刚刚诞生一年的RSA公开密码方法（RSA是三位发明者名字的缩写，这种加密方法现在得到了广泛的使用）。加德纳最著名的趣味数学作品集包括《啊哈!灵机一动》、《从惊讶到思考——数学悖挑奇景》、《矩阵博士的魔法数》等等。
一百四十年之前，在英国牛津有一位童心未泯的数学教师，他不善言辞，对于教学似乎不太热衷，然而他非常喜欢小孩子。这年夏天，他与所在学院院长的女儿Lidell三姐妹——其中年龄最小的一个叫做爱丽丝——郊游，在游船上他讲了一个关于兔子的故事，这就是后来著名的童话《爱丽丝漫游奇境》的起源。在大约100年之后的1960年，另外一个研究数学的人为《爱丽丝漫游奇境》加上了详尽的注释，这就是加德纳的《注释本爱丽丝》。
在《爱丽丝漫游奇境》和《爱丽丝漫游境中世界》两部作品出版之后的100多年里，有很多学者都研究过这两部令人惊叹的作品：卡洛尔的本行是数学，这两部作品里包含了许多数字和文字游戏。
加德纳在十一、二岁的时候第一次读到了这部作品，然而没有留下什么深刻的印象。到了芝加哥大学，当加德纳重新捧起这本书的时候，他突然被其中的情节深深吸引住了。这便是他对于卡洛尔的作品和卡洛尔本人研究的开始。起初，他认为有人会为《爱丽丝漫游奇境》写注释本（很多国外文学名著——例如《福尔莫斯探案集》等等——都有注释本，注释不仅仅分析情节，也给狂热读者提供一些写作背景）。他常常建议出版商找哲学家勃兰特·罗素写《爱丽丝漫游奇境》的注释本（据说原版插图的帽匠的形象就来自于罗素），然而罗素回答说他无意写这样一本书。于是，加德纳打算自己写一个《爱丽丝漫游奇境》的注释本。
1960年，加德纳终于找到了愿意出版此书的出版商。在这本叫做《注释版爱丽丝》（The Annotated Alice）的书中，加德纳以一个卡洛尔作品爱好者的热情，给出了相当精彩的注释：包括介绍作者的背景、解释书中的历史、传说和诗歌、学者的评论和对某些情节的争论，甚至还挖出了一些隐藏在文本之中的文字（卡洛尔喜欢使用这种方法，类似于中国的“藏头诗”）
加德纳在出版这本书的时候大概没有想到，这是这本书让他成为了世界上最有名的卡洛尔研究专家。此后，加德纳还出版了《手绢里的宇宙》，介绍了卡洛尔的一些数学游戏。除了卡洛尔的作品，加德纳也撰写过《注释本绿野仙踪》。他甚至还为《绿野仙踪》写了一个续集，在这部叫做《奥兹国的客人》（Visitors from OZ）的小说中，多萝西等人来到了现代的纽约！
除了进行数学科普的创作，对伪科学进行有力的反击也是加德纳的拿手好戏。早在50年前的1952年，加德纳就撰写了一本全面批判当时美国流行的伪科学理论的著作：《狂热与谬论：以科学的名义》（Fads and Fallacies in the Name of Science，中译本为《西方伪科学种种》）。
加德纳是一位怀疑论者，他与萨根、阿西莫夫、保罗·库尔茨（Paul Kurtz）等人共同创立了“超自然主张科学调查委员会”（CSICOP），用科学的手段与一切伪科学进行斗争。由于加德纳深谙魔术的奥秘，他揭露了不少声称拥有“特异功能”的人。在《矩阵博士的魔法数》（The Magic Numbers of Dr.Matrix）这本书中，他巧妙地使用数学的手段破除人们对于数字的种种迷信。
今天，加德纳早已功成名就，他曾被斯蒂芬·古尔德誉为“美国的国家财富”，获得过各种各样的荣誉，甚至有人提议授予他名誉数学博士学位。他已经将近90高龄，然而却从未停止过笔耕。几乎所有人都误认为加德纳是数学家或者哲学家，当有人问他是否对于没有学术地位感到惋惜时，他回答说，在大学里他决定成为一个作家，这个决定他永远也不会感到后悔。
聪明过人的马丁·加德纳编辑本段回目录
马丁·加德纳读小学三年级时，一次上数学课，老师拿出10只薄薄的塑料杯，一字排放在桌上，前5只装着红水，后5只空着，然后问：“现在只准动两只杯子，谁能使红杯子和空杯子一一交错排列？”
教室里没有一个同学举手。突然，马丁·加德纳站起来：“我有办法。”只见他拿起第二只杯子将红水倒入第7只杯中，将杯放回原处，又拿起第4只杯子，将红水倒入第9只杯中，将杯放回原处。
老师高兴地说：“好！太棒了。”说着，老师拿掉7只杯子，桌上留下3只空杯，又从抽屉里拿出10个小贝壳说：“请把10个贝壳放进这3只塑料杯中，每只杯里只能放单数，不能放双数。”
同学们考虑着各种分配方案，但无论如何，都避不开一个双数。于是，不少同学站起来大声宣布：“老师，你说的问题不可能解决！”“不，我有办法！”马丁·加德纳站了起来，他走上讲台，把贝壳分成两个奇数放在两只空杯里，然后将其中一个杯子套入第3只空杯中。
老师兴奋地说：“你能从奇数的角度去思考问题，将来一定会大有作为的！”
马丁·加德纳后来成为美国著名的科普作家。
马丁·加德纳和他的趣味数学编辑本段回目录
他没有数学博士学位，但是他的作品能让数学家也为之着迷；他曾经是原教旨主义者，然而现在他是一个伟大的无神论者；他精通魔术，并且擅揭露长形形色色的伪科学；有些人抱怨他的批评严厉、呆板、无趣，然而在生活中他是一个羞涩而低调的人；他的作品带领读者在世界各地神游，但是他本人却在长年住在北加利福尼亚的家中，很少出门；他已经写了上百本书——也许只有科普作家阿西莫夫的作品数量能超过他——其中甚至还包括童话！如果要我在10秒钟里写出世界上最著名的几位科普作家，除了卡尔?萨根、艾萨克?阿西莫夫、理查德?道金斯之外，这个名字肯定会出现在这份名单里。
他就是在美国几乎家喻户晓的马丁·加德纳（Martin Gardner）。
加德纳1914年生于俄克拉荷马州的塔尔萨（Tulsa）。1936年，他毕业于芝加哥大学哲学系。在进入大学之前，他是一个新教原教旨主义者，相信上帝在7日之内创造了世界。通过理性的思考，在大学中他的信仰消失了，在随后的年月中，他成了一位怀疑论者（在美国，怀疑论者差不多就是无神论者的代名词）。毕业后他在家乡的报社担任记者。第二次世界大战期间他成为了美国海军的随军记者。战后，他继续从事自由撰稿人和编辑的工作。
1957年，加德纳在《科学美国人》杂志上开设了一个数学游戏专栏，这个专栏一直延续了1/4个世纪，直到1981年才宣告结束。正是这个专栏确定了加德纳在趣味数学领域的地位。
在普通人眼中，数学往往是高深莫测、枯燥乏味的。而在加德纳的笔下，一个个抽象的数学问题变得趣味十足。例如，在1961年5月份的《科学美国人》杂志上，加德纳给出了一个奇怪的图形：把一个三角形分割成特定的4块然后重新组合，新的三角形与原来的三角形形状相同。我可以向艾萨克?牛顿爵士发誓：在拼接过程中绝没有做任何手脚，然而第二个三角形看上去竟然缺少了一格的面积！顺便说，我经常在网上看见这道题，然而恐怕很少有人知道它是加德纳的杰作。
这些趣味数学题尽管本身不是什么高深的理论，然而加德纳总是能借其引出一些只有在大学才能学习到的数学理论，例如微积分、数列、拓扑学、群论、概率论等等。很多青少年正是因为加德纳的趣味数学题才对数学产生了兴趣。他还常常在《科学美国人》的专栏上向大众介绍最新的数学成果。例如，1977年他介绍了刚刚诞生一年的RSA公开密码方法（RSA是三位发明者名字的缩写，这种加密方法现在得到了广泛的使用）。加德纳最著名的趣味数学作品集包括《啊哈!灵机一动》、《从惊讶到思考——数学悖挑奇景》、《矩阵博士的魔法数》等等。
无可替代的作用编辑本段回目录
20世纪下半叶，美国科普界叱咤风云数十年的三位大师级人物是艾萨克·阿西莫夫、卡尔·萨根与马丁·加德纳，堪称一时瑜亮，难分轩轾。时至今日，前面两人均已逝世，唯有加德纳先生依然健在，老当益壮，在数学传播领域继续发挥着他无可替代的作用。
阿西莫夫对加德纳有着一段非常中肯的评语：“马丁·加德纳是一位业余的超级魔术大师，这是毫无疑义与众口一辞的。但是，与他的一项看家本领相比，神乎其神的魔术招数毕竟是小巫之见大巫，也许会退避三舍。原来，任何数学题材到了他手，都能写成雅俗共赏，妙不可言，使我爱不忍释的文章。”《矩阵博士的魔法数》就是这样一本涉猎面很广，文笔隽永，诙谐有趣，可读性极强，人文根底非常深厚的奇书，以致许多读者一旦见到了它，就不肯放手，直到一口气把它读完为止。
1914年10月21日，马丁·加德纳（Martin Gardner)生于美国俄克拉何马州。1936年毕业于芝加哥大学，学的专业是哲学。毕业后先当《民友报》记者，后来在芝加哥大学公众关系部工作。第二次世界大战爆发后，他在美国海军中担任随军记者，曾到过印度、菲津宾、东南亚、土耳其与中、近东许多国家和地区，见闻甚广。战后，他开始了自由撰稿人的生涯。马丁·加德纳才华横溢，思如泉涌，博闻强记，文理双栖，据不完全统计，迄今已写了五十本以上的书，其代表作有《密码传奇》、《人人都能懂得的相对沦》、《表里不一的宇宙》、《好科学、坏科学、伪科学》、《不可思议的矩阵博士》、《数学狂欢节》、《啊哈？灵机一动》、《从惊讶到思考——数学悖论奇景》等。
马丁·加德纳曾多次获得过重奖。他连获美国物理学会及美国钢铁基金会的优秀科学作者奖（美国一般都把科普作家称为“科学作者”），他的肖像曾在《生活》杂志及《新利周报》上刊登过。尽管他从来没有当过教授，但世界各国许多第一流的数学家一听到他的名字，都无不肃然起敬。总而言之，他是一名大名鼎鼎的人物。
传数学科普的功臣编辑本段回目录
正如马丁·加德纳的继任者、物理学家道格拉斯·霍夫斯塔特所作的评价：“加德纳先生是无可替代的”，“他是数学的大功臣”，他为数学招兵买马，把无数青少年引进了数学的庄严殿堂，以数学本身所具有的魅力和内在美吸引他们以之作为终身职业，在纯粹数学与应用数学的各个领域内寻找“对胃口”的分支学科，使自己逐步成长为数学尖子和接班人。他不愧是这门学科迄今为止最出色的宣传家、推销员、带路人与“牧师”。
加德纳的主要的活动是高级科普杂志《科学美国人》（Scientific American),的一位长期专栏作家。
在《科学美国人》杂志上撰稿的，一般都是各个科学、技术领域中的专家。众所周知，很少有人在这家杂志上发表过两篇以上的文章，罕见的例外就是加德纳。他从1957年第一期开始，一直写到1980年年底，整整二十四个年头，几乎月月有文章，前后不下二百多篇。他所包办的这个“数学游戏”专栏，终于成了该杂志的一个“特色产品”，当然也是货真价实的“拳头产品”了。
马丁·加德纳读万卷书，行万里路，知识非常渊博，所发表的数学科普文章，内容几乎涉及数学的每一个分支，从最简单的算术、代数到莫测高深的拓扑学，超穷数，覆盖面之广泛，“热点”之众多，令人侧目。每个读者都可以“各取所需”，从他那里找到适合自己的文化程度，极为合身，又能投其所好的阅读材料。
马丁·加德纳如今虽然已有95岁高龄，但笔力仍健。前年夏季，《科学美国人》杂志上就破例刊出了长达8页，不下二万余字的他的专文“趣味数学五十年”。
马丁·加德纳的一些最精彩的篇章，是关于数学中微积分以上的课题。其主要内容有数论、图论、概率论、群论、矩阵、组合分析、仿射几何、射影几何、差分学、算法理论、拓扑学等等。这些高级专题历来被认为是“阳春白雪”，曲高和寡，一般科普作家总是感到十分头痛而碰都不敢去碰的。然而马丁·加德纳却从中发掘出了大宗宝藏，这就使得他高出同行之上，独树一帜。在这方面，就连历来著名的苏联数学科普作家别莱利曼也比不上他。众所周知，群论是近代数学的一个重要主题，但一般教科书上都讲得玄之又玄，往往老师在课堂上讲得舌敝唇焦，下面的学生还是听不懂。马丁·加德纳却能用部队操练动作（立正，向左转，向右转，向后转……），穿袜子，小姑娘编发辫等事例极其通俗地来说明“群论”的许多概念，而且丝毫无损于定义的严密性。这的确是巨大的成功！所以他的科普作品，对于高等数学的教学与传播是很能说明问题，很起作用的。这也是他的作品的真正价值所在。
马丁·加德纳非常重视科普文章的质量，十分注意并经常报道数学里头的“三新”：新见解、新发现与新进展，甚至还敢于报道涉及军事机密的题材。
加德纳先生是一位多才多艺的人物，他精力充沛，兴趣与成就涉及许多方方面面，远远不止是数学一门。因此，为纪念加德纳65岁生日专家们决定出版《数学加德纳》，
并且热切地盼望另外的一些书，例如《魔术加德纳》、《文学加德纳》、《哲学加德纳》以及《科学加德纳》等也能相继问世。
加德纳是趣题大师。让我们看看他的题：
5个水手带着1只猴子来到一座荒岛，见岛上有大量椰子，他们便把这些椰子平均分成5堆。夜籁人静，一个水手偷偷起来拿走了一堆椰子，把剩下的椰子又平均分成5堆，结果多出一只椰子丢给猴子吃掉了，过了一会儿，另一个水手也偷偷起来，拿走了一堆椰子后，再把剩下的椰子平均分成5堆，结果还是多了一只，丢给猴子吃了。就这样一个多事的夜晚，5个水手都偷偷藏起一堆，重分了椰子，每次都多出一只椰子让猴子占了便宜。第二天一早，岛上依然平均堆放着5堆椰子。试问：原先的椰子最少要有多少只？——这就是马丁·加德纳提出的“水手分椰子”名题。解法很多，可谓八仙过海，各显神通。
加德纳语言诙谐，文笔生动，懂得读者心理。他的文章能满足社会各阶层的需要，尤其能紧紧抓住青少年读者。他经常发表这样一些闻名世界的数学趣题，这类问题与传统的奥林匹克数学竞赛题截然不同，趣味性极强，雅俗共赏，看一眼就能把你“抓”住不放，又不需要很多预备知识，使你情不自禁地跃跃欲试。出题能达到这样的水平，可谓“炉火纯青”了。此类问题大致有着多种求解途径。例如涉及运筹学的“小鱼吃大鱼”问题，涉及几何与运动轨迹的“四只臭虫”问题等。这些题目一经披露，往往会引起连锁反应，各地读者来信犹如雪片飞来，使《科学美国人》印数剧增，编辑部工作人员又惊又喜。有些素昧平生者因为同解一道题而顿成莫逆之交，在数学家和业余爱好者之间架起了一座金桥。
马丁·加德纳的出身是位哲学家，所以他的一些科普文章较少使用华丽的辞藻，却蕴涵着很深的哲理。他令人信服地证明：数学家既可以是诗人，也可以是画家。
作品介绍编辑本段回目录
《加德纳趣味数学系列》，包括《萨姆.劳埃德的数学趣题》、《数学的奇妙》、《引人入胜的数学趣题》、《近代欧氏几何学》、《无穷之旅——关于无穷大的文化史》、《测试你的逻辑推理能力》， 加德纳在书中序言中说：“在为这本集子挑选材料的过程中，我竭力寻求那些独具特色而又引人入胜的趣题，它们仅仅要求最初等的数学知识，但同时又富有激励性地闪现出更高层次的数学思想。这些趣题（其中有许多曾经发表在《科学世界》（Science World）杂志上我主持的“轻松时分”（OntheLightSide）专栏中）已被归类成章，每章各针对数学中的一个领域。每章开头的简要评介，说明了为解决该章趣题所必须使用的数学门类的一些性质和重要性。在答案中，只要篇幅允许，我尽量详细地解释了每道题是如何解决的，并指出某些诱人的途径，这些途径从题目出发，蜿蜒曲折地通向数学丛林中更为枝叶繁盛的地区。
也许，在赏玩这些趣题的过程中，你会发觉数学比你想象的更加可爱。也许，这将使你愿意认真地学习这门学科，或者减少你在着手学习一门最终需要一点高等数学知识的科学时的犹豫。
的确，现在没有人可以怀疑数学的巨大实用价值。没有数学工具，就不可能有现代科学的发现和发明。但是，许多人并不理解，数学家事实上从数学中得到了愉悦。用我的话来说，经过深思熟虑对症下药地摆平了一道有趣的题目，其令人愉悦的程度，就如同经过反复瞄准用保龄球一下子击倒了十个球瓶。”
《矩阵博士的魔法数》，马丁·加德纳在这里借追踪矩阵博士欧文·约书亚，为我们摆起了数字的魔幻方阵；美国总统选举，奥斯卡金像奖提名，好莱坞红星的预卜皆可由与其相关的基本数字预示其结果的必然性？加德纳先生在这里用叙述结合注释评注的方法为我们“抽丝拨茧”，将数字王国的数字奇妙组合一一展示在了读者面前……
本书的重点是反对与批判数字迷信的。数字迷信在世界各国都以不同的面貌出现，例如日本的“数秘术”，中国的“术数”等。
美国虽然是个高度现代化的国家，但社会上述信之风甚盛。总统选举，奥斯卡金像奖提名，好莱坞红星的预卜，甚至馈赠一件特异的生日礼品，也会去征求巫师的意见。占星术、骨相学、传心术、掌纹算命、圣经占卜法、瑜伽学、看水晶球……纷纷出现，真是洋洋大观，无奇不有。马丁·加德纳所写的矩阵博士长篇连载，之所以能在世界著名高级科普杂志《科学美国人》上连续刊载，长达20年之久，这充分说明了杂志主编的犀利眼光：在当今美国社会，破除现代迷信仍是一项应当长期坚持不懈的事业。另一方面，连载文章始终拥有大量读者，也充分证明文章的针对性很强，能够切中时弊，从而受到社会各阶层人士的普遍欢迎。
马丁·加德纳是世界著名科普作家，一生不遗余力地宣传数理科学，上至拓扑、群论，下到算术、代数，吸收了无数群众进入数理科学的殿堂，他的功绩是不可磨灭的。
本书是加德纳的另一部杰作。他写这本书是使出了浑身解数的，在写作风格上，也与他的其他许多作品有异。原则只有一个：站在迷信的对立面，始终不遗余力地抨击。揭露、批判和破除各式各样的诡计与花招，对伪科学也毫不留情。但是，加德纳先生用了一种非常独特的笔法，即欲擒故纵。欲抑先扬的办法。故意先把书中的主人公矩阵博士吹得天花乱坠，神乎其神，然后又翻开他的底牌，揭露其骗局，把他的戏法放在光天化日之下曝光。这种高明的创作技巧与富有幻想的情节，着实要比苍白无力的“批判”有力得多，也更切合美国的国情。就这点而论，它倒是很像鲁迅先生在《中国小说史》中所得到的晚清谴责小说，例如《官场现形记》与《二十年目睹之怪现状》等嬉笑怒骂皆成文章的作品。
《引人入胜的数学趣题/加德纳趣味数学系列》，本书笔调轻松，风格诙谐。其中的趣题覆盖了各种数学论题：算术、货币、速度、平面和立体几何、对策、概率、拓扑等。还有请你脑筋急转弯的微妙趣题。每道趣题后都有详细的答案。
这是一本寓教于乐的书。以轻松的笔调、诙谐的风格带你进入奇妙的数学王国。书中的趣题几乎覆盖了各种数学论题，譬如算术、货币、速度、平面和立体几何、对策、概率、拓扑等。全书分为十章，以饶有趣味的方式分别探讨了这些论题。而每道趣题之后都有详尽的答案，你可以在穷尽心思思索后找到“柳暗花明”的解答，这实在也是一种乐趣。这些数学趣题能够调动你思考的积极性，让你在自觉主动而愉悦的心情中生发对数学和逻辑的探索与求知的欲望。你可以正襟危坐地对其中的趣题进行深入的思索，更可以在茶余饭后用之作为脑力体操。而有不少趣题还与实际生活相联系。思维就在运动中活跃，相信你定可以在思考中获得知识和心得。你会发现，即使在严密的逻辑中也蕴涵了无尽的生动和乐趣，而原来看似严谨的数学题也是可以在轻松平易中与日常生活相通的。正如书名所言，确实引人入胜。
在逻辑的推演中获得意外的惊喜编辑本段回目录
——读马丁·加德纳《意料之外的绞刑和其他数学娱乐》
读焰
如果说上帝是全能的，那他能不能造出一块自己搬不动的石头呢？
因为上帝无所不能，所以他能够造出来任何一种石头，所以上帝能够造出一块他自己也搬不动的石头，所以上帝并非无所不能——他竟然连自己造出来的石头都搬不动。
多年以前，我被这个题目绕了很久。上帝是否存在，如何存在，本来是一个玄奥的形而上问题，经过这样的提问，竟然被莫名其妙地化解了——实在是怪异得很。尤其怪异的是，这个问题竟然可以算是数学问题。
马丁·加德纳是个讲解数学问题的高手，从1957年开始，他在著名的科普杂志《科学美国人》主持了25年“数学游戏”专栏，编造、改造、创造了很多稀奇古怪的故事和游戏，让读者陷在其中的代数、几何、概率、拓扑、图论、数论、集合等数学问题里不能自拔。这些文章已经结成了多个集子，每个集子都引起加德纳迷恋者的兴奋。这些集子大多有中译，所以加德纳在中国也有很多崇拜者。上帝问题出自他的《啊哈，灵机一动》，算起来已经有20年了。智力的磨练和比赛永远是引人入胜的，在几周以前，我们前往灵山野游，全车人从一出发就和几道类似的数学题搏斗起来，一直斗到灵山主峰。按照时下常用的说法，大家都是成年人了，但是，当我们在逻辑的迷宫和沼泽里穿行、跨越、徘徊，最后终于到达彼岸的时候，仍然由衷地感到那种单纯的快乐。尤其是那几位首先穿破迷雾看到目标的人，那种成就感，满脸都是。
数学是无所不在的。概率论竟然诞生于赌场之中。不过平常人打麻将，只是建立在朴素的经验之上。我在南大读研究生的时候，班里有几位围棋高手，他们在打麻将的时候竟然也要复盘，四个人一边洗牌一边反思上一把的正误得失，竟然每一圈牌都能记得。大概已经到了数学的境界。马丁·加德纳也讲了很多与赌博有关的故事。有一位先生写了一本赌博指南大全，对于常用赌具的输赢概率进行了全面的计算，也对赌徒们常用的某种巫术般的赌博技巧进行了核实，最最坚硬的结论是：赌场老板总是赢家。而另一位先生发现了赌场的漏洞，写了一本《让我们赢庄家》，弄得各个赌场连忙修改规则，填补漏洞。在数学问题上，赌场老板也会听从数学家的意见。马丁·加德纳诱使我们进入数学世界，而一旦进入数学问题内部，就会被更加纯粹的智力问题所吸引，常常使我们发现，大千世界中表现形式完全不同距离无比遥远的两个事情竟然有着完全相同的数学结构。这更让我们为数学的纯粹而惊叹。
在一个星期六，法官向罪犯宣布他被判绞刑，并将在下个星期的某一天中午行刑。但是又告诉他：这是一个意料之外的绞刑，因为你事先并不知道是哪一天，只有在临刑的那一天早晨，你才会知道。罪犯的律师高兴地对罪犯说：你死不了。为什么呢？你看，一个星期有七天，但不可能是在最后一天，也就是下个星期六行刑。因为那样的话，到了周五的下午你已经能够推断会在第二天挨绞，那就不是意料之外的绞刑了！所以不会是星期六。那么，星期五呢？出于同样的原因，你在星期四下午就会知道，同样不是意外的绞刑。依此类推，律师排除了下一个星期里每一天。所以罪犯不会死。
如同一开始那个上帝问题一样，这也是个悖论。一件看起来很荒谬的事情，被一种我们也能接受的逻辑竟然给说通了，一下子就使我们的智力遭到了考验。你心里明明知道他在胡扯，却他找不出错在那里，甚至觉得他说得很对。这就是悖论的魅力。马丁·加德纳进而指出：这个问题和什么扑克牌问题、美女老虎问题、生日礼物问题，是同一个数学问题。
《科学美国人》名义上是科普，但并非我们习惯的那种面向广大青少年的、会让我们联想起趣味数学或者算得快之类的科普读物。我大学时的老师讲，《科学美国人》的文章至少要本科以上才能读懂。中国目前还没有与此相当的杂志。《科学美国人》的目的不在于向广大中等文化的读者普及基础性的科学知识，而是向高等文化的读者介绍其它专业的知识。在某种意义上，起到学科桥梁的作用。而马丁·加德纳的数学专栏，则是向这些智力与学识已经很高的读者提供与之相配的脑力体操。所以，马丁·加德纳的很多问题，需要相当的数学基础才能够深入进去。令人惊异的是，马丁·加德纳本人竟然没有受过“数学方面的正规的高等教育”。他能够成为个中高手，一定有一种纯粹智力活动的热爱。这种热爱使他的文章富有魔力。
在星期三，罪犯得到了一个意料之外的绞刑，法官实现了他的诺言。那么，律师的问题在哪儿呢？当我们凭借我们引以自傲的智力，在顽强的毅力和耐心的推动下，完成其中的逻辑推演，会获得一个意料之外的惊喜。
2003年7月23日
北京 稻香园
意料之外的绞刑和其他数学娱乐，马丁·加德纳著，胡乐士译，齐民有校，上海教育出版社，2003年。
（发表于《科学时报》2003年7月31日，B3版。发表时题为《逻辑推演中的意外惊喜》）
原书名：《啊哈！灵机一动》 编辑本段回目录
[美]马丁·加德纳 著
前言 创造性行为很少出自逻辑与推理。惊人的想法每每不期而至，因而数学家们常说灵感之产生与你正在做什么全然无关。也许你在旅行，也许你在刮胡子，或者在随便想着什么，灵感却突然产生。创造性过程并不因你美好的愿望而闪现，亦不垂青你崇高的奉献精神。实际上，在你的精神充分放松、你的想象自由翱翔时，灵感女神或许已悄然叩动着你未启的心扉。
——马利斯·克莱恩
实验心理学家们常常提到一位教授测试一个大猩猩解决问题能力的试验。一只香蕉被挂在天花板的中央，其高度是猩猩跳起来也不足以拿到。屋子里除了在墙边放几个木箱外没有其它任何东西。试验的目的是要看猩猩能否想到把木箱码到屋子中央，然后攀登上去摘到香蕉。
被测试的猩猩默默地萎缩在角落里，沮丧地望着心理学家来回忙碌摆放木箱。当这位教授经过屋子正中央的时候，猩猩突然一跃而起，迅速跃上教授的肩膀，然后向上一跳，摘走了香蕉。
这一有趣的实验寓意在于：一个貌似复杂的问题，有时解决的办法可能出乎意料地简单。在这个试验中，猩猩的做法不过是靠它的直觉以及以往的经验，但此做法却令我们的教授始料不及。
数学的核心问题就是无终止地探求简单而再简单的方法，去证明各种理论，去解决各种问题。常常有这样的事例：一个理论的最初证明需写出50多页厚的一大本，其中充满了严密的推理；几年以后另外的数学家——也许名不见经传——却突发奇想，寥寥数行就给出了清楚而科学的证明。
这种瞬间闪光的妙想，心理学家称之为“灵感”(aha！reactions)。它们看起来确乎鬼使神差。有一个很有名的故事，说的是爱尔兰数学家威廉·朗万·汉密尔顿在散步经过石桥时突然发明了四元法的事情。他当时奇妙的想法是他忽然认识到并非整个代数系统都要遵循交换律。他兴奋得不知所措，当即把这些基本公式刻在了石桥上，据说这块刻有公式的石头一直留存至今。
瞬间的妙想在一个创造性的头脑中究竟起什么作用？恐怕没人能说得很清楚。它的确是一个不可思议的过程，没有人能把它从头脑中捕捉出来送进计算机里，而计算机解决问题必须是按照事先给定的程序机械地一步一步地去做。计算机的应用价值也仅仅是计算速度快得惊人——可以迅速解决一个数学家需不停地计算几千年才可能解决的问题。
灵感，是一种思维的创造性飞跃，其外在表现有时是瞬间闪现出解决问题的最佳途径，它与一般意义上的智慧是有很大差别的。最近的研究表明，那些经常产生灵感的人，其智力水平大都近于中等，间或有人智力超常，其灵感与智力之间亦无必然联系。通过水平测试我们可以看到，一个人的智商可能相当高，但产生灵感的能力却很低；反之，有的人在许多方面的表现并不出色，但这并不排斥他可能妙招迭出。例如爱因斯坦，他对经典数学并不很熟练，他在中学及大学中的成绩亦很平平，但是，相对论却恰恰在这样的头脑中诞生，其意义之深远足以彻底改变整个传统物理学的根基。
本书中我们精选了一些貌似复杂、实际上你若果真循规蹈矩地去解决也确实很困难的问题。但如果你能让你的思维从那些规范解题的园囿中跳出来，你或许能蓦然发现问题的答案何其简单。如果开卷伊始你就遇到了拦路虎，请不要气馁，不要匆忙去看书后的答案，而要尽自己最大努力来解决问题。不需很久你就会得其要领，领会个中要旨，把握其中非常规的思维脉搏，这时你会惊奇地发现你的灵感不断涌现，你会深有感触地意识到在处理日常生活中种种事情时，你可能也会妙招迭出。比如你要拧紧一个螺丝，一定需要一个改锥吗？随手用一个硬币如何？
用本书的问题来考考你的朋友或许会给你带来极大的乐趣。一般情况下，他们会苦思冥想不得其解，最终告难而退。这时你告诉他简单的解答，他们则往往是瞠目惊讶，继而赧然失笑。为什么会笑？心理学家的解释亦不肯定，不过对创造性思维的研究可以显示一点，即创造能力与幽默并非无缘。或许一些奇思妙想与人的精神愉快有关。能够创造性地解决问题的人似乎是这一类人：他们喜欢向问题提出挑战，就像有的人着迷于棒球或象棋比赛一样。闲暇游玩的愉悦形成了灵感产生的氛围。
想法的奇妙与思维的快慢没有必然联系。一个思维慢的人对某个问题的着迷程度并不逊色于一个思维快的人，甚至完全有可能在解决问题时想法更奇妙。轻而易举地解决了问题所带来的喜悦会促使一个人回过头来重新考虑常规的解题思路。本书愿为任何读者服务，但更偏爱那些富有幽默感的理解能力超群的人。
这里谈到的奇思妙想，与科学、艺术、商业、政治及其它人类所从事各项活动的任何领域中的创造力有着密不可分的联系。科学史上的每一次伟大革命几乎都是不圃常规的直觉飞跃的产物。倘若不是宇宙万物无休止地向我们提出各种困惑，科学何以存在？大自然母亲创造了许多有趣的现象，然后向那些科学家们提出了挑战，要求他们解释出其所以然。在很多情况下，答案并非要在不断重复的试验中去寻找，像托马斯·爱迪生寻找电灯的灯丝那样，甚至也不需要依据有关理论知识去推演。在许多情况下答案完全出自Eureka(偶然)。实际上Eureka一词出自古希腊的一则典故，故事说的是阿基米德在浴盆中解决了一个有关皇冠的问题。传说当时阿基米德极度兴奋，跳出浴盆赤条条跑到了街上高喊“Eureka！Eureka!”
本书中我们把精选的问题分成了六类：组合、几何、数字、逻辑、程序以及语词。每一类内容都比较宽泛，不同类之间的交叉亦无法避免。有时在这一类中讨论的问题，在下一类中的某个地方可能还会触及，对每一个问题我们都力争从一个有趣的故事出发，围绕着这个故事引发开去，使你在兴致勃勃中解决问题。这样做的目的是想通过情绪的协调来激发你超常的思维。希望你在处理每一个新问题时，不管这个问题多么稀奇古怪，不要花费许多不必要的时间在一个思路上钻牛角尖，要从各个不同的角度去考虑。
每一个问题都配有加拿大画家吉姆·格林先生绘制的简明示意图，问题之后还附有说明。这些说明使问题逐步深入，其中很多说明会把你带入五光十色、扑朔迷离的现代数学王国。在有些地方，我们还特别指出某些问题至今尚无定论。
我们将尽力在叙述问题的过程中给你一点小小的提示，考虑问题的思路常循着以下几个角度：
1、这个问题能否被简化为更简单的形式？
2、能否不改变问题的实质而只在形式上做些变通，使之简明易解？
3、你本人能不能发明一种简单算法去解决它？
4、能否把教学领域中别的分支理论应用到这个问题中来？
5、你能举出正反面的例子来验证这个问题的结论吗？
6、题中给出的已知条件是否都与要求的结论有关？是否有些已知条件反倒把你的思路引向歧途。
目前，计算机的应用日益广泛，已遍及数学王国的每个角落，人们对计算机的依赖也愈加强烈。计算机根据你给它编定的程序工作，大量反复的机械运算，它可能几秒钟就完成了。但你编一个合适的程序并把它输入计算机恐怕总要花去几小时甚至几天的时间吧？有时艰苦的编程过程恰恰引发了你奇思妙想的灵感。靠这种天助的灵感，也许你根本不必再编什么程序，轻而易举就解决了问题，这也并非不可能。
一味依赖计算机，人的聪明才智就会消失，人的创造能力也将泯灭，这岂不是人类的悲哀？本书的主旨正是要训练你的刨造性思维，增进你巧解问题的能力。
目录
一、奇妙的组合…………………………………… 1 - 12
二、几何技巧………………………………………13 - 22
三、数字游戏………………………………………23 - 33
四、令人迷惑的游戏………………………………34 - 43
五、趣味游戏………………………………………44 - 50
六、语词游戏………………………………………50 - 60
混淆的婴儿
a．某医院，四名婴儿的身份卡弄混了，两名婴儿的卡是对的，另外两名是错的，发生这种情况的方式有多少种?
b．计算这个问题的简便方法就是把所有可能的情况列成表，它显示出当两名婴儿标错时有六种情况。
c．现在假设标签混了以后，实际上三个对的，一个错的，发生这种情况又有几种方式。
d．你还要画个表来算吗?或许你已经发现其奥妙了。
弄错了的标签
这个问题蒙混了许多人的原因是假设错误：有许多途径可以正确标识四个婴儿中的三个。如果按“鸽子窝原理”考虑，答案是显然的。假如有四个鸽子窝，每个都用它们的名字标记，如果三个鸽子放到它们各自的窝里，那么第四个鸽子只有一个口可进，当然是正确的口。只有一种情形而不是很多情形，显然这种情形下四个鸽子正确地放进窝里了。
有一个著名的标识混淆的难题，也涉及三物体，解决的方法也靠巧妙的想法：把发生事件数减少到1。假设在桌上有三个密封的盒，一个盒中有2枚银币(l银币=10便士)，一个盒中有2枚镍币(1镍币=5便士)，还有一个盒中有1枚银币和l枚镍币。这些盒子被标上10便士、15便士和20便士，但每个标签都是错误的。现在，有人从一个盒中拿出1枚硬币放在盒前，看到这枚硬币，你能否说出每个盒内装的东西呢?
同前一个问题，人们首先可能会认为有许多不同的可能性，但用正确的观点看只有一种情形。从错标15便士的盒中取出的硬币不是银币就是镍币。如果是1枚银币就知道这盒里原本装的是2枚银币，如果是镍币，这盒里原本装的就是2枚镍币。在这两种情形下，其它两盒内所装的东西也完全决定了。为了弄明白原因，可以画一个六种可能情形的表，可以看到三个盒子全部错标只有其中两种情形，从15便士的盒中取1枚硬币样品又排除一种情形，唯一剩下的一种情形就是正确的情况。
这个问题有时给出的形式略难一些，让某人随便在哪个盒中取最小数目的硬币样本来确定三个盒子的内装物。当然，唯一的答案就是从15便士的盒中取1枚硬币。或许你还能发明更复杂的方法，当每个盒中有两个以上物体或是多于三个盒子的情况。
许多吸引人的难题都和婴儿问题有密切联系，这也引入了基本的概率理论。比如，婴儿的标签随意混淆了，四个都对的概率是多少?都错的呢?至少一个对的呢?恰好一个对的呢?至少两个对的呢?恰好两个对的呢?至多两个对的呢?等等。
以“至少一个”形式的问题，是著名的娱乐数学问题，它常以一个故事的形式给出，n个男人把帽子寄存在饭店里，粗心的存帽姑娘漫不经心，随便递出对号牌，那么至少有一个人能取回他自己帽子的概率是多少?当n增加时这个概率很快达到其极限(1-1/e)，略大于1/2。这里e是一个著名的相关系数，称作欧拉系数等于2.71828，它在概率问题中经常遇到，如同几何问题中的圆周率。
口香糖问题
a．琼斯太太竭力想快点走过那个口香糖售货机，以免她的双胞胎看到。第一个孩子：妈，我想要口香糖。第二个孩子：妈，我也要，我要和比利一样的。
b．口香糖售货机差不多空了，没法知道下一个糖球是什么颜色，琼斯太太要想得到两个同样的糖球，她必须准备花多少钱?
c．琼斯太太可以花6便士买2个红球——其中4便士买所有的白球，另2便士买一对红球；或者花8便士买2个白球。所以她必须准备8便士，对吗?
d．错了。如果头两个球颜色不一样，那么第三个球必与其一相配，所以3便士就足够了。
e．现在假设机器中有6个红球，4个白球，5个蓝球，你能算出琼斯太太需花多少钱能买一对同样的球吗?
f．如果史密斯太太带着她的三胞胎从同一个口香糖售货机旁过，你仔细想想，你认为4便士够吗?
g．这次售货机中有6个红球，4个白球和一个蓝球，史密斯太太要花多少钱能买三个一样的球?
需要多少钱?
第二个口香糖问题是第一个口香糖问题的简单变化。可以用同样的思路来解决。在这个问题中，取头三个球可能是不同颜色——红色、白色和蓝色。这是没有达到预想结果的最长排列，第四个球一定与前三个球中的一个相同。所以只要买4个球必能得到相同的一对球，琼斯太太要准备4便士。
总之，对于n组球，每组一种颜色，就应准备买n+1个球。第三个问题比较难，史密斯太太是三胞胎而不是双胞胎，口香糖售货机中有6个红球，4个白球和1个蓝球，她得花多少钱才能买到3个同样的球?
同上，我们首先要考虑最坏的情况，史密斯太太买到2个红球，2个白球和唯一的蓝球，总共5个红球，第6个球肯定是红球或白球。所以要使三胞胎都得到同样颜色的球，答案是6便士。假如蓝球不只一个，她每种颜色先抽2个，那么第7个球就能满足三胞胎的要求。
噢!关键在于最“坏”情形的长。有人可能想通过给这11个球标上字母来解决这个问题，然后检查所有可能排列，看看在出现三个同样球的排列中哪个是最长的。但是这种解决办法需列出ll!=3931680O种排列，即使同样颜色的球不用字母区分，也要列出2310种排列。
总之，要抽取k个同色球的方法如下：有n组球（每组一个颜色，每组至少k个)，那么要得到k个同色球必须抽取n（k--1）+1个球。你肯定还想研究一组球或多组球的球数少于k的情形。
这种问题的模式也能用于其它方面。例如，你要从52张牌中抽取7张同花色的牌，你要抽几次?这里n=4，k=7，公式给出的答案是：4(7--1)+1=25。尽管这是些简单的组合问题，但引出了有趣而复杂的概率问题。比如．你从n张牌中抽取7张牌(n从7到24)，每次抽取后不再放回(显然，假如抽的张数小于7概率为0，如抽取25张以上概率为1)，同花色的概率是多少?如果抽取的牌再放回经冼脾后再抽概率又是多少?一个更难的问题是：无论牌是否放回，获得同花色牌的期望值(概率的平均值)是多大呢?
恼人的花砖
a．布朗先生的院子铺了40块方砖，这些砖已经坏了，他想换新的。
b．他选了一些新砖配他草坪上的摆设，不巧的是这些新砖是长方形的，每块新砖要覆盖两块旧砖。店主：布朗先生，你想要多少? 布朗先生：我要覆盖40块方砖，我想20块就够了。
c．当布朗先生用新砖铺院子的时候，他失败了，无论怎么干，这些砖都不合适。
d．贝齐：爸爸，什么麻烦事？布朗先生：这些该死的砖不合适，最后总有两块盖不上。
e．布朗先生的女儿画了院子的平面图，并像棋盘一样着了色，然后她研究了几分钟。
f．贝齐：噢!我明白毛病出在哪儿了，当你看到矩形砖应当覆盖一个红的和一个白的方砖，问题就显露出来了。这个图是怎样被借助来分析问题的?你明白贝齐的意思了吗?
g．有19块白的方砖和21块红的方砖，当19块矩形砖铺上以后，肯定有2个红块没有盖上，这是矩形砖无法铺设的，除非将其一分为二。
奇偶检验
布朗先生的女儿应用所谓“奇偶检验”解决了铺砖问题。如果两个数字都是奇数或都是偶数，它们被称为同奇偶；如果一个是奇数而另一个是偶数，则称为相对奇偶。在组合几何中也要经常遇到相同的情况。
在本问题中，两块同颜色是同奇偶，两块不同颜色是相对奇偶。显然一块矩形砖只覆盖一对相对奇偶方砖。这个姑娘让我们看到，当19块矩形砖铺上后，剩余的两块只有是相对奇偶才能被矩形砖覆盖；由于剩下的两块必然是同奇偶，它们不能被矩形砖覆盖，所以院子铺矩形砖是不可能的。
数学中许多不可能性证明也依赖奇偶检验。你熟悉的著名欧几里德证明：2的平方根不可能是有理数。这个证明的获得首先假设根可以用最简有理分式来表示，分子和分母不可能都是偶数，否则分式就不是最简式。所以，它们只能是奇数，或一个是奇数、另一个是偶数。欧几里德的证明显示，这个分式二者都不是，既不都是奇数，又不相对奇偶。而每一个有理分式都应是二者之一，所以2的平方根不是有理数。
假如不是应用奇偶检验，很难证明铺砖的不可能性问题。这个问题尤其简单是因为它包括在多米诺(domino)骨牌中最简单的一种polyomino(把一系列单位块拼在一起)，这个姑娘的不可能性证明可以适用于任何由单位块构成的矩阵中，当矩阵被棋盘似地涂色后，一种颜色的单位块比另一种颜色的至少多一块。
在我们的问题中，院子可以看做6×7的矩阵，缺了2个同颜色的块。显然，剩下的40块不能由20块“多米诺骨牌”覆盖。一个有趣的相关问题是：如果移去的2块是不同颜色的，20块“多米诺骨牌”就可以覆盖了吗?奇偶检验不能证明其不可能性，但这并不意味着可能性永远存在着。无疑要移动一对对的不同颜色的块来检查每一种可能的模式，这要分析过多的可能情况。有没有简单的可能性证明呢?
有。它简洁、奇巧，是由Ralph · Gomory的灵感解决的。假设6×7长方形中有一个封闭路径，一小格宽，见图5。现在将路径中任意两个不同颜色的小块移走，这将路径分为两部分，每部分都包括偶数个颜色相同的小格，很明显这部分能被“多米诺骨牌”覆盖，所以这个问题总是有解的。你或许很想应用一下这个巧妙的证明于任意大小、形状的矩阵且缺两个以上的小块。
“铺砖”理论是一种有趣的大面积的组合几何，铺设的区域可以是任意形状的——有限的或无限的，砖的形状同样也可以变化。问题中砖的形状也可以不是同一形状的，不可能性证明中经常用两种以上颜色标记特定区域。
三维多米诺骨牌是1×2×4的块，用这种块很容易装一个4×4×4的盒子，但用这种块能装6×6×6的盒子吗?这个问题也用布朗先生庭院问题方式来解答。假如把这个立方体分为27个小立方体，每个是2×2×2，黑白相间的标识这些2度立方体，你会发现，一种颜色比另一颜色多8个立方。不论一个块用这种颜色的小块怎样堆积，它总是占据同样数量的黑块和白块，但由于一种颜色的块比另一种颜色的多8立方，不论前26块怎样放，总要剩8立方同颜色块，所以它们不能被第27块覆盖，若要通过详尽检查每种可能的拼装方式来证明其不可能性将会是超乎寻常的困难。
块拼装理论仅仅是三维空间堆积理论的一部分。在空间拼装课题上，尽管有许多悬而未解的问题，但已有大量的论文产生。许多问题已应用到商品的包装及仓库商品的贮存等等方面。
奇偶性在核物理方面起着重要作用。1957年两名华裔美国物理学家获得诺贝尔奖就是由于他们的工作推翻了著名的“奇偶守恒”定律。由于其太高的科技水平而不在此引入。但这里有一个简单的硬币小戏法，可以说明奇偶的守恒。
在桌上扔一把硬币，然后数一下呈现正面的硬币数。若是偶数，我们说正面具有偶数性；若是奇数，我们说正面具有奇数性。然后翻转一对硬币，再一对，再一对，随意选择。你可以发现，不管翻转多少对，正面的奇偶性是守恒的。如果开始是奇数，结束时还是奇数；如果开始时是偶数，结束时仍是偶数。
这就是这个聪明的小魔术的基础。你转过身去，让一个人随意一对对翻转硬币，再让他用手盖上任何一个硬币，你转过来，看一下这些硬币，就能准确地告诉他手下的硬币是正面还是反面。秘密就是最初数一下正面的数量并记下来。不管正面数是偶数还是奇数，因为成对翻转不影响其奇偶性，你只要在最后查一下正面数就能知道掩藏的硬币是正面还是反面。
作为一种推广，还可以让某人用手盖上两个硬币，你可以说出被掩盖的硬币是同面还是互为反面。许多明面的纸牌戏法都可由这种奇偶检验变化得来。
奇妙的路线
a．赌徒戴安以每次只投一元钱的赌注而闻名。此刻他正与好友飞行员迪克在一起喝酒。
b．“迪克，”戴安说，“给你出个问题，你要答不上来，我就赢你一元钱。一个飞行员向南飞行lOO公里，然后向东飞行100公里，这时他发现他刚好回到了原先起飞的位置。请问他是从哪个地方开始起飞的?”
c．“啊，我赢了。”迪克说，“这种问题哄哄小孩子不可以。他从北极出发。” “啊，不错，你赢了一元钱。”戴安说，“不过我再赌一元钱，除了北极还可能从什么地方起飞?”
d．迪克苦思冥想，不得要领。
e．“没有别的什么地方了。”迪克说，“我可以证明。假如飞行员从北极与赤道之间的任意一点出发……
f．“显而易见他无法回到他出发的地方。如果他从赤道上某点出发，他最终会停在距出发点约100公里的位置上。
g．“假如从南极与赤道间的某一点出发，那么他最终将落在距出发点100多公里的位置上。”
h．“说得很对，”戴安说，“再考虑考虑，我们现在把赌注升到两元钱，怎么样?” 最终迪克以失败而告终。你知道这是为什么吗?
i．以南极为圆心，以116公里长为米径画一个圆A。从圆A上任一点出发向南飞100公里。
j．当他向东飞100公里的时候，他刚好绕着南极转一圈，再向北飞100公里，自然是回到出发点。对吧?
k．“不错，你赢了。”迪克说。 “再赌一次!”戴安说，“我就不信再找不到别的什么出发点了吗?” 迪克说：“你的意思是除了北极和刚才那个圆周之外，还可能有其它的点?” 戴安说：“正是。”
l．“那好哇，”迪克说，“这次咱们赌50元。”
m．可怜的迪克又输了!那么这个点要到哪儿去找呢?
出发点
迪克之所以赢不了，是因为他始终没搞清楚应该循着什么样的思路去寻找出发点。飞行员可以从靠近南极的某一点出发，要求这一点满足如下条件：向南飞100公里后，再向东飞100公里，恰好绕着南极转两圈而不像刚才那样绕南极转一圈，那么这时再向北飞，自然可以回到出发点。满足这一条件的出发点又形成了一个新的以南极为中心的圆。同理，飞行员还可以从更小的圆上的点出发，只要能满足飞机在向东飞时绕南极转三圈、转四圈……转任何正整数的圈数都可以。可见，满足条件的点构成了一个无穷系列的同心圆，以南极为圆心，半径无限趋近于100公里。
下面是另一种关于航行的问题，它涉及到的是一种美妙的球面曲线，即所谓的“等斜曲线”或称“等方位线”。假设一架飞机从赤道上某点出发，向东北方向飞行，那么它的最终落点在哪里?它经过的路线有多长?这个路线呈什么形状?
你会惊奇地发现，飞机经过的路线是一个以不变的角度与地球子午线相交的螺旋形曲线，它最终的落点在北极。该曲线是一个球面螺旋线，它须绕北极旋转，越转半经越小，最后终止于北极。把飞机作为一个动点，甚至可以认为这个点绕北极转了无数圈，那么它所经过的路线的长度也还是有限的、可计算的。所以，飞机若以不变的速度飞行，它终究要在一定的时间内到达北极。
对于不同类型的地图，等斜曲线在图上的表现形式不尽相同。在众所周知的麦卡托式世界地图上，它表现为直线，事实上也正因为如此，麦卡托式地图才备受航海家们青睐。如果一条船或一架飞机在行进时保证罗盘的指针不变，那么它的行进路线表现在地图上就是一条直线。
如果一架飞机从北极出发向西南方向飞行，结果将会怎样?这个问题与上面的问题可谓互递互补，因为它们行进路线的形状完全一样，只是方向相反。但有一点，我们不能肯定这条曲线交于赤道上哪一点，或者说，它与赤道上任何一点都有可能相交。这一结论可以得到证明，因为从赤道上的任何一点出发反方向飞行都可以回到北极。当然，飞机从北极出发，经过赤道之后如果继续前进，那么它最终必然要落在南极。
如果我们把等斜曲线投影到与赤道平行与北极(或南极)相切的平面上，那么这时的投影线就是等角螺旋线，又称为对数螺旋线。这种螺旋线与半径的交角始终保持不变。
另一个为人们所熟知的行进路线问题是四个乌龟的问题。它也涉及到对数螺旋线，但是其中有一个形象的故事来介绍这一技巧。
汤姆·皮莎训练了四个小海龟：阿娜、玻瑟、查尔斯、蒂里拉，把它们依次编号为A、B、C、D。一天，他把四个小海龟放在一间屋子的四个角落里，让A始终朝着B所在的位置前进，让B始终朝着C所在的位置前进，同理，C朝着D、D朝着A的方向走。他请全家人来观看。
“非常有趣，我的儿子!”皮莎先生高兴地说，“每个海龟都以同样的速度径直向它前面的海龟爬去，那么，每一时刻它们四个都处在某个正方形的角上。”(如图2-9所示)
图2-9
“是的，爸爸。”汤姆说，“而且这个正方形处在不断的变化中，越来越小。看!它们即将相聚在正中心！”
假设每个海龟以每秒钟1厘米的速度前进，方形屋子每边长3米，那么请问每个海龟爬到中心用多长时间?当然，我们在解决问题时可以把一个海龟作为一个点来外理。
皮莎先生掏出了计算器，打算施展一下他计算的才能。这时皮莎太太嚷了起来：“不要计算了，亲爱的，问题很简单，需要5分钟!”
皮莎太太怎么解答出来的呢?
我们简单地考察两个相邻的海龟，比如A和B。A始终不相关。这与B在墙角不动、A沿着墙边直接爬向B是一个效果。
上述思路是解决问题的关键。A经过的路线与每个墙边的长度是一样的。既然墙边长300厘米，A的行进速度是每秒1厘米，那么当然需要300秒钟，也就是5分钟到达B处。对其它三个海龟也是如此，所以5分钟之后，四个海龟同时到达正方形的中心。
借助于计算器，我们不难画出每隔一小段时间海龟所在的位置，把每一时间间隔中四个海龟的位置依次连成线，结果便形成了如图2-10的图形。
图2-10
对于所有正多边形的角上的点，都存在类似的规律吗?请先研究一下正三角形，再研究一下正五边形，如果已知正多边形的边长，要求出一只海龟追上前面一只海龟需走过的路程长度，你能找到一个通用的公式吗?如果是无穷多的海龟，从正无穷多边形的角上同时出发，首尾相接依次追击，结果将会如何?它们是否永远也聚不到一起?再假设，最初的多边形不是规则的正多边形，比如四个海龟从一个矩形的四个顶点上同时出发，结果又会如何?
回到我们最初的例子中。如果四只小海龟在屋子中央相聚后，发现它们彼此都很厌恶，便彼此背向爬开，每只海龟都径直远离它左边的小海龟，那么请问：四只海龟是否会重新回到屋子的四个角落?
奇妙的切割
a．兰莎是个测量员，他善于把各种形状的木头分割成若干形状相同的小块。
b．一次，有人请他把这块木头分割成形状相同的四块。这要怎么分呢?
c．对这块木头只能这样分割。
d．又有一次，有人请他把这块土地划分为形状相同的四部分。这可不是件容易的事情。
e．但是，经过一番苦思冥想，他终于解决了问题。
f．把一块正方形的木头分成四块相同的小正方形，这对于兰莎来说自然不成问题，但是要把它分成同样形状的五块，兰莎有些犯难了。
g．“这如何是好!”兰莎暗想，“一定能找出一种办法来，噢，有了!”你知道兰莎想到怎样分割了吗?
h．“真是聪明一世糊涂一时，”兰莎想，“用这种方法可以把一个正方形分成任意等份!”
分割理论
拿兰莎的三个问题来和朋友开个玩笑倒是挺有意思。前两个问题的答案都不是规则的图形。这些图形的巧妙分割表明，一个正方形既然不能被分成五个小正方形，那它一定能被分成五个别的什么形状。解答方法如此浅显却很少有人想到，这真是令人遗憾。而这种方法又是把正方形五等份的唯一方法。
如果你的朋友对这类问题有兴趣，你可以接下来给他(或她)出第四个类似的问题。首先让你的朋友看看图2-17所示的图形，怎样能分成相同形状的四小块?能分成形状相同的三小块吗?
图2-17
你的朋友可能经过一番苦苦思索百思不解而放弃，这时你把答案给他(或她)看看，面对如此浅显的解答，你的朋友一定会瞠目而汗颜。这个问题的解答方法同兰莎分割正方形的思路如出一辙，答案如图2-18所示。这个方法同样可以把这个图形分割成任意等份。
图2-18
这类问题和前面切乳酪的问题一样，都属于娱乐数学(recreationaI mathematics)的一个重要的分支，有时称作“分割理论”。它为我们解决平面几何和立体几何中的许多实际问题提供了有效的方法。兰莎的头两个问题更有趣，因为分割后的小块与分割前的大块形状相似。如果一个图形能分成若干彼此全等而又与原图形相似的小图形，那么，这个图形就叫做“可缩图形”(rep—tile)。
图2—19又列了几个可缩图形，你能把它们分别分成若干彼此全等又和原图形状相似的小图形吗?
图2-19
“显然，若干小的可缩图形可以拼成同形状的大的可缩图形。假设某种可缩图形能够取之无尽用之不竭，可以推想，他们拼成的同形状的大的可缩图形会逐渐布满无尽的平面。比如，兰莎解决的第一个问题L形可缩图形，四个同样的小L形可以拼成一个大L形，然后四个同样的大L形可以拼成一个更大的L形。这样无止境地拼下去，结果当然会拼成一个无尽头的平面。反之一个大L形分成四个小L形，一个小L形再分成四个更小的L形。这样无止境地分下去，图形会越来越小，直至无穷小。
关于可缩图形我们研究得还很不够。凡已知的可缩图形都可以通过重复的拼接而充满一个平面。也就是说，一个基本的可缩图形通过水平延展而不是旋转或折转来拼成一个平面。有没有可缩图形不能重复地拼下去呢?这是拼接理论中一个尚未解决的比较艰深的问题。
关于空间的可缩图形我们研究得就更有限了。立方体属于这类空间的可缩图形，因为八个立方体可以组合成一个大立方体，就像四个正方形拼成一个大正方形一样。你能再想出别的立体的可缩图形吗?
如果我们不要求分割后的小图形与原来的图形形状相似，那么我们还能从这类问题中琢磨出别的趣味。例如图2—20所示，是一个由五个小正方形拼成的T字图形，它不能被分割成四个小T字图形但是你能把它分割成四个别的什么图形吗?
图2-20
把一个平面图形分割成尽可能少的全等图形(如两份)，这一目标更难达到。图2—21给出了几个例子，你有兴趣试着分割一下吗?答案见本书的附录。
分割理论还有一个分支，是将已知的多边形分割成尽可能少的几部分，当然形状不限，然后这些部分可以重新组合成另一个不同的给定的多边形。例如，一个正方形最少能被分成多少份，使被分割的部分能重新组合成一个正三角形?(答案是4份)这部分内容在《几何分割中的重组同题》(Recreational problems in Geomeerie Dissections)和《亨利·林格如何解决这些问题》(How to Solve Them by Harry Lindgren)两书中有详尽而精彩的论述。
a．在亨利叔叔家逗留的最后一天。鲍伯和海伦告诉亨利叔叔他们就要结婚了。亨利：太好了，孩子们，这一定要庆贺一下。
b．然后亨利叔叔拿出五瓶专为特殊场合而备的酒。但究竟先开哪一瓶没有取得一致意见。
c．亨利；依我看，我们把瓶子排成一排，然后我按照吉利的秩序来回数。图中即他数的方式1、2、3、4、5……吗?
d．亨利叔叔：6、7、8、9……
e．亨利：10、1l、12、13……明白了。
f．鲍伯：明白了。我来做吧，叔叔。但您打算数到多少为止呢? 亨利：今年不正好是建国200周年的1976年吗，就数到1976吧!
g．海伦：(激动地)噢，天哪，那不永远数不完了!停一下，你不用数了，我马上能告诉你数到最后停在哪儿。
h．海伦：最后将停在第二个瓶子处，我刚刚算出来。亨利叔叔极不信，坚持要数下去。15分钟后，他恰好停在了第二个瓶子上。
i．亨利：上帝做证，海伦，告诉我你是怎样知道的? 想一想，如果不论数字多大你都能找到一个容易的方法确定最后数到哪儿停止，那么你可以用此题的变形与你的朋友们试一下。
模算术
海伦避免冗长的从1数到1976的诀窍是她领悟到这个问题可以通过运用叫作“模算术”或“钟算术”的理论很快得到答案。
钟算术模仿了12个数字的有限算术。实际上，在以12为基数的模算术中，12与O是一致的。假定现在是12点整，而且你希望知道100个小时后是几点，这只需要把100被12除，得出的余数就是。余数等于4说明100小时后，钟显示出的时间是4点整。这里与我们有关的只是余数。“100”这个数被认为与“4”等价(以12为模)，只不过意味着100被12除时，余数为4。
你明白亨利叔叔的计数方法是怎样与“钟算术”等同的吗?唯一的不同点是中点的三个瓶子每一个代表两个数字，因为它们在两个不同方向被数了两次。“8”数到了开始后的第二个瓶子，然后另一个周期重新开始。因此这个过程显示了一个以8为模的算术过程。
海伦只确定了一下1976的等价值(以8为模)。换句话说，把1976用8除后得到的余数是零。在以8为模的算术中，8=0(以8为模)。因此，数到1976一定停在从计数开始时第二个瓶子上。
如果亨利叔叔数的数很大时比如12345678987654321，你如果想知道他最后停在哪儿的话，是否一定要用整个数字除以8呢?其实不必。因为1000=0(以8为模)，你只需把最后的3位数，321，用8除一下即可。321被8除后余数是1，这说明12345678987654321=1(以8为模)。所以计数最后一定停在第一个瓶子上。
改变瓶子的数量，你可用偶数模设计很多有限算术模型。如果数瓶的方式是通常的从左向右数，那么你就可以以任何奇数或偶数为模，建立一个有限算术模型。
“约瑟夫难题”是一个包含物体周期性计数的著名难题，因为它取材于内中主人公叫作约瑟夫的一则古罗马故事。与这个问题相类似的还有很多作品。下面是一个有趣的新编外国故事。
从前，一个富有的国王有一个漂亮的女儿，她的名字叫约瑟芬。追求她的小伙子成百上千。最后，除了她选中的10个她最喜欢的人之外，其他人都被排除了。
几个月过去了，约瑟芬还没有最后拿定主意。国王生气了，他说：“宝贝，下个月你就17岁了，所有公主都要在到这年龄前结婚是我们的习俗。”
她答道：“爸爸，可我还没最后决定我是否最喜欢乔治。”
“即然如此，今天我们只好通过惯例来解决这个问题。”
接着，国王解释了一下这古老仪式的进行方式。他说：“10个人站成一个圆周，你可以挑选任何一个你喜欢的人作为1，然后你开始顺圆圈按顺时针方向数数，数到你的年龄——17为止，第十七个人必须退出这个圈。我们给他100金币做补偿，送他回家。”
“他走后，你再从1数到17。这次从已退出那人的下一位数起，当数到17时，第十七个人像前面一样被排除掉。依此继续做一下去，总是数剩下的人，直到剩下最后一个。他就是要和你结婚的那个人。”
约瑟芬皱着眉说：“爸爸，我还没搞清楚，我用10个金币做一下演习好吗?”
国王同意了。约瑟芬把10枚金币摆成一个圆圈，开始转圈数数。拿掉每一个第17枚，直到剩下最后一个。国王一直守候着直到他女儿完全掌握了这个过程。
十名求婚者被带到了王宫。他们围着约瑟芬站成一个圆圈。她一点也不含糊地从帕西瓦开始数了起来。很快地，除了她芳心暗许的乔治外，其余的人都被排除了。约瑟芬有什么诀窍使她很容易找到最后一定剩下乔治的第一个数呢?
下面是约瑟芬如何安排的妙谛所在。她在数金币做实验时，记住了最后留下的金币是从她开始数的那枚金币往下的第三号，因而当她数人时，从能把乔治排在第三号的那个数起。
约瑟芬问题的一般原理可通过一副扑克牌的13张黑桃来说明。你能把这些牌排成一个顺序表演如下的约瑟芬计数吗?
计数开始时，装有正面向下的十三张扑克牌的盒拿在一只手上，称最上面一张牌为1，翻开它是黑桃A。把A放在桌子上，然后数1、2，把第一张牌放在盒底下，第二张牌翻过来放在桌上面是黑桃2。然后数1、2、3，把头两张牌放在盒底下，第三张牌翻过来放在桌上，是黑桃3。如此继续下去，每次从盒上部只拿一张牌，然后再顺序拿第二张(与约瑟芬环周计数类同)，直到你翻开放到桌上的十三张牌恰好是从A到K的顺序。
下面是这些卡片的编排顺序；从上到下，做这样一个排列即可：A、8、2、5、10、3、Q、J、9、4、7、6、K。
如果你认为设计这样一个序列要浪费人们大量的时间，那么有一种能得到这序列的简单方法。很多人从事这类研究的能手在领悟到使问题简化的启示之前，都花费了大量时间。
试试在没看书后答案前，你是否能解答。
快乐不是因为拥有的多，而是计较的少！
六道诡秘的谜题
a．在音乐停止后，六位朋友回到了自己的座位上，以互相猜谜为乐。看你能猜对多少?
b．穿红衣服的男孩第一个说。弗兰克：“上星期，我在关卧室的灯时，曾设法在房间黑之前上床。如果床离电灯开关有十步远，我怎么办呢?”
c、穿蓝衣服的男孩说。亨利：“无论我婶婶什么时候来公寓看我，她总是少坐五层电梯，然后再步行上那几层楼。你能告诉我为什么吗?”
d．穿绿衣服的男孩说。英曼：“什么词的组合开始是‘IS’，结尾是‘ND’，中间是‘LA’?”
e．穿红衣服的女孩说。简：“一天晚上，我叔叔正看一本精彩的书时，他妻子关闭了电灯，顿时房间一片黑暗，但我叔叔仍在继续看书。他怎么还能看呢?”
f．穿绿衣服的女孩说。梅布尔：“今天早晨，我的一只耳环掉进了咖啡怀中，尽管杯中装满了咖啡，但耳环并没湿。这是怎么回事?”
g．穿蓝衣服的女孩说最后一道谜题。劳拉：“昨天，我父亲遇雨，他既没带帽子，也未带雨伞，头上无任何东西。他的衣服淋湿了；但头发却一根也没湿。为什么?”
诡秘的答案
在这六个谜题中都有狡猾的圈套。它们告诉你想当然是不行的，尽管有些情况看起来未必可能或者不同寻常，但你却必须考虑到所有的可能性。如果一些重大的思想因为人们认为当然就想当然而没进行研究，那么许多科学革命就不会发生了。还需强调的是——直觉，要在别人认为古怪的事情上考虑到它的可能性。例如：哥白尼推测出太阳(而非地球)是太阳系的中心，达尔文认为人类社会是由低级的动物生活形态发展而来的，爱因斯坦认为太空的构造不需要欧几里德几何的整合性。
我们六道诡秘的谜题答案如下：
1．想当然是不行的。在这道题中，几乎每个人都尝试着去解决发生在夜晚的这个问题，但此题并没有如此声明过，房中并没变黑，是因为发生在白天。
2．若把婶婶想成是具有正常身高的人，那就错了。事实上，她是个侏儒，因为身高不够，所以在电梯上她无法按到她侄子那一层楼的电纽。
3．错误的推断在于认为在三对字母中间还夹着另外的字母。事实上，那个字是ISLAND(“岛屿”)。
4．错误的推断在于认为人只能用眼睛读书。实际上，此人是盲人，在读盲文书。
5．错误的推断在于认为“咖啡”是指液体咖啡事实上耳环是掉进干咖啡中的，当然不会湿了。
6．错误的推断在于误以为父亲有头发。其实，父亲是个秃头，因此他没有头发可以变湿。
类似这些有趣的充满智慧的难题有成百个，都是建立在同样的基本概念上——使人误入歧途后产生一种错觉，妨碍你想出真实的答案。这有六道类似的题：
1．一位食客在他的汤碗中发现了一只死苍蝇，为此，侍者向他致歉，并把那碗汤送回厨房，接着又拿回一碗类似的汤。片刻，食客又叫回侍者，并生气地说“这是原来的那碗汤!”他怎么知道的呢?
2．一艘远洋定期客轮抛锚泊船时，史密斯太太因感到不太舒服而未能离开客舱。中午，她床边的舷窗在距水面7米的地方。涨潮时，水面以每小时1米的速度上升。设想一下每小时以这样的速度成倍地上升，需多长时间水面才能到达她的舷窗?
3．索尔·伦尼牧师曾宣称，他将在一个特定的日子、特定的时间里，做一件创奇迹的事情，即他可以在哈得逊河面上行走20分钟而不沉下去。一大群人聚集去看这一场景。索尔·伦尼牧师的确按他说的做了。他是怎么做的呢?
4．两列火车轨道除了在隧道中的那一段外，一直是并行排列的。隧道不够宽，不能铺双轨，所以火车在隧道中的这段路只能单行。
一天下午，一列火车正从某一方向驶进隧道，另一列火车从相反的方向开来，进入了同一个隧道。两列火车运行的速度很快，但并没发生碰撞。请解释这一现象。
5．一名逃犯沿着村路步行时，看见一辆警车正快速朝他驶来，在他跑进森林前，他朝着正向他开来的警车跑了10米远。他这样做是显示他对警察的蔑视吗?或者他有更好的理由?
6．为什么1977(年的)美钞比1976(年的)美钞更值钱?书后有答案，但要求你在回答每个问题感到有困难时再看。
