千禧年大奖难题
千禧年大奖难题(Millennium Prize Problems), 是七个由美国克雷数学研究所(Clay Mathematics Institute,CMI) 于2000年5月24日公布的数学难题。根据克雷数学研究所订定的规则，所有难题的解答必须发表在数学期刊上，并经过各方验证，只要通过两年验证期，每解破一题的解答者，会颁发奖金1,000,000美元。
这些难题是呼应1900年德国数学家大卫·希尔伯特在巴黎提出的23个历史性数学难题，经过一百年，许多难题已获得解答。而千禧年大奖难题的破解，极有可能为密码学以及航天、通讯等领域带来突破性进展。
大奖题目
P对NP问题 （-P versus NP-）
霍奇猜想 （-The Hodge Conjecture-）
庞加莱猜想 （-The Poincaré Conjecture-）
黎曼假设 （-The Riemann Hypothesis-）
杨-米尔斯理论 （-Yang-Mills Existence and Mass Gap-）
斯托克斯方程 （-Navier-Stokes Existence and Smoothness-）
戴尔猜想 （-The Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture-）
克莱数学研究所征解的七个数学问题 编辑本段回目录
二十一世纪到来之际，克莱数学研究所（The Clay Mathematics Institute of Cambridge, Massachusetts (CMI)）参照一百多年前德国数学家大卫希尔伯特的做法，于2000年5月24日在法国召开的千禧年年会上，公开征解七个数学问题的解答。这七个问题是由克莱数学研究所的科学顾问委员会精心挑选的，克莱数学研究所的董事会为每一个问题的解决提供了一百万美元的奖金。这些问题是（按照问题题目的英文字母顺序排列）:
1. 波奇和斯温纳顿-戴雅猜想(Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture)：对有理数域上的任一椭圆曲线, 其L函数在1的化零阶等于此曲线上有理点构成的Abel群的秩。
数学家总是被诸如x^2+y^2=z^2那样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷。欧几里德曾经对这一方程给出完全的解答，但是对于更为复杂的方程，这就变得极为困难。事实上，正如马蒂雅谢维奇（Yu.V.Matiyasevich）指出，希尔伯特第十问题是不可解的，即，不存在一般的方法来确定这样的方法是否有一个整数解。当解是一个阿贝尔簇的点时，波奇和斯维纳通－戴尔猜想认为，有理点的群的大小与一个有关的蔡塔函数z（s）在点s=1附近的性态。特别是，这个有趣的猜想认为，如果z（1）等于0，那么存在无限多个有理点（解），相反，如果z（1）不等于0，那么只存在有限多个这样的点。
2. 霍奇猜想(Hodge Conjecture)：在非奇异复射影代数簇上, 任一霍奇类是代数闭链类的有理线性组合。
二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广；最终导至一些强有力的工具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下，必须加上某些没有任何几何解释的部件。霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的（有理线性）组合。
3. 纳维尔-斯托克斯方程(Navier-Stokes Equations)：证明或否定3-维奈维尔－斯托克斯方程解的存在性和光滑性(在合理的边界和初始条件下)。
起伏的波浪跟随着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的气流跟随着我们的现代喷气式飞机的飞行。数学家和物理学家深信，无论是微风还是湍流，都可以通过理解纳维尔－斯托克斯方程的解，来对它们进行解释和预言。虽然这些方程是19世纪写下的，我们对它们的理解仍然极少。挑战在于对数学理论作出实质性的进展，使我们能解开隐藏在纳维叶－斯托克斯方程中的奥秘。
4. P与NP问题(P VS NP Problem)：有确定性多项式时间算法的问题类P是否等于有非确定性多项式时间算法的问题类NP。
在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安，你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。你的主人向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现你的主人是正确的。然而，如果没有这样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人。生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。这是这种一般现象的一个例子。与此类似的是，如果某人告诉你，数13，717，421可以写成两个较小的数的乘积，你可能不知道是否应该相信他，但是如果他告诉你它可以因子分解为3607乘上3803，那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。不管我们编写程序是否灵巧，判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证，还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解，被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。它是斯蒂文·考克（StephenCook）于1971年陈述的。
5. 庞加莱猜想(Poincare Conjecture)：任意闭单连通3-流型同胚于3-球。
如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。大约在一百年以前，庞加莱已经知道，二维球面本质上可由单连通性来刻画，他提出三维球面（四维空间中与原点有单位距离的点的全体）的对应问题。这个问题立即变得无比困难，从那时起，数学家们就在为此奋斗。
6. 黎曼假设(Riemann Hypothesis)：黎曼Zeta－函数的非平凡零点的实部都是1/2。
有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2，3，5，7，等等。这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼（1826~1866）观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z（s$的性态。著名的黎曼假设断言，方程z（s）=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1，500，000，000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。
7. 杨-米尔斯理论(Yang-Mills Theory)：证明量子Yang?Mills场存在并存在一个质量间隙。
量子物理的定律是以经典力学的牛顿定律对宏观世界的方式对基本粒子世界成立的。大约半个世纪以前，杨振宁和米尔斯发现，量子物理揭示了在基本粒子物理与几何对象的数学之间的令人注目的关系。基于杨－米尔斯方程的预言已经在如下的全世界范围内的实验室中所履行的高能实验中得到证实：布罗克哈文、斯坦福、欧洲粒子物理研究所和筑波。尽管如此，他们的既描述重粒子、又在数学上严格的方程没有已知的解。特别是，被大多数物理学家所确认、并且在他们的对于“夸克”的不可见性的解释中应用的“质量缺口”假设，从来没有得到一个数学上令人满意的证实。在这一问题上的进展需要在物理上和数学上两方面引进根本上的新观念。
那些价值百万的问题编辑本段回目录
几年前，在美国波士顿的一个聚会上，刘克峰碰到了兰顿·克雷（Landon Clay）。当时还在哈佛大学数学系读博士的刘克峰问了他一个问题:“为什么你会对数学如此情有独钟？”
多年以后，浙大的永谦中心，已经身为浙大数学中心执行主任和加州大学洛杉矶分校数学教授的刘克峰回忆起当时情景，仍然对克雷那略带狡黠的微笑和回答记忆犹新:“他说，每当他听人讨论起数学问题，就会听到钱的声音在丁当作响。”
千禧年数学问题（Millennium Prize Problems）
克雷是波士顿地区很有名的一个商人，毕业于哈佛大学英语系，做的是风险投资生意，上过《福布斯》富人榜。1998年，他以自己和夫人拉维尼娅·克雷的名义，在哈佛大学所在地坎布里奇投资创办了克雷数学研究所（Clay Mathematics Institute）。2000年5月24日，在法国巴黎法兰西学院举办的一次学术会议上，还不甚为人所知的克雷数学研究所给自己打了一个“漂亮的广告”——丘成桐语。作为对100年前希尔伯特23个数学问题的响应，克雷数学研究所董事会宣布，设立700万美元的大奖，征集对7个著名数学难题的解决方案。
同各自艰深且难以用短短几句话介绍清楚的数学猜想和方程相比，“千禧年数学问题”（Millennium Prize Problems）这个概念无疑对公众更具亲和力，而每个问题100万美元的悬赏，又成了“书中自有黄金屋”的最佳注脚。结果可想而知:在Google上搜索“Millennium Prize Problems”，得到的结果有187万条，继续搜索其中之一的庞加莱猜想“Poincare conjecture”，仅有39.7万条。而这，还要拜近几年中庞加莱猜想有望解决而引起的公众关注所赐。
7个千禧年数学问题，分别是1971年斯蒂芬·库克（Stephen Cook）和莱昂纳德·莱维（Leonid Levin）各自独立提出的“P与NP问题”，19世纪德国数学家黎曼（G.Riemann）提出的“黎曼假设”，1904年法国数学家亨利·庞加莱提出的“庞加莱猜想”，英国数学家威廉·霍奇（William Hodge）在上世纪30年代提出的“霍奇猜想”，60年代彼得·斯温纳顿·戴尔和布赖恩·伯斯提出的伯斯－斯温纳顿·戴尔猜想，物理学家克劳德-路易斯·尼维亚和乔治·斯托克斯提出的一系列关于流体力学问题的尼维亚-斯托克斯方程组，以及源自杨振宁和罗伯特·米尔斯关于量子场问题的杨－米尔斯理论。
悬赏解题的渊源
属于精神领域的数学问题，与物质世界里的财富发生联系，这其实并不新鲜。传说中，当毕达哥拉斯证明了直角三角形的勾股定理时，他和他的门徒曾经为此宰杀了100头牛向缪斯女神献祭。而在文艺复兴时期，数学家们便热衷于就数学问题展开解题挑战赛，一方给另一方提出一系列的数学问题，赢得挑战的人不仅能够获得声望，很多时候还能得到彩头。最有名的一个故事是关于三次方程式求解的。凭借掌握了三次方程求解方法而名利双收的马里亚·菲奥尔（Maria Fior）在1535年2月12日举行的挑战赛中遇上了口吃的数学家尼克罗·冯坦纳（Niccolo Fontana），结果，后者解出了菲奥尔给出的全部问题，菲奥尔却没能解出冯坦纳的任何一个问题。故事的结局，以菲奥尔声名扫地并失去教职而告终。这种与武侠小说中打擂台异曲同工的挑战赛，为几百年来全世界数学界一条不成文的规则埋下了伏笔:谁能解开那些别人都解不开的最难的问题，谁就可以成为武林盟主。
时间过渡到近代，悬赏解题的故事开始变得层出不穷。出于军事和政治——主要是对海上控制权的争夺——的需要，从18世纪开始，以英国海军部和法国巴黎科学院为代表的国家研究机构设立了一系列奖金。1735年，欧拉用了3天3夜的时间，解决了关于月球位置计算求解的悬赏问题。他因此得到了300英镑的奖金。这在当时是一笔相当大的收入，但欧拉付出的代价似乎远超于此:他的右眼因此而失明。在欧拉的一生中，曾12次赢得巴黎科学院的年度悬赏问题。
关于费马大定理的故事，也许最能体现数学难题与重金悬赏间微妙而有趣的关系。19世纪40年代末，法国科学院为能够最终解开费马大定理的数学家设立了一枚金质奖章和3000法郎的奖金。此后，1908年，因费马大定理而改变了自杀念头的德国富翁保罗·沃尔夫斯凯尔（Paul Wolfskehl）临终前设立遗嘱，费马大定理的证明者可以获得10万马克的奖金。虽然这笔钱因为欧战后货币贬值而最终几乎不足以买一杯咖啡，但它引发的公众对费马大定理的热情却持续了几十年。这个问题的最终解决者，安德鲁·怀尔斯，之所以会对它发生兴趣，源头便是10岁时看到的数学史家贝尔（E.Bell）写给普通大众的关于费马大定理的一本科普著作《最终问题》（The Last Problem）。
百万于我如浮云
尽管百万美元成为公众和媒体津津乐道的话题，但有趣的是，在数学家中，一致的看法却与很多媒体的猜测大相径庭。英国巴斯大学的应用数学教授克里斯·巴德（Chris Budd）写过一篇介绍千禧年数学问题的文章《数学怎样让你名利兼收》（How Maths Can Make You Rich and Famous）。他最后得出的结论是，要通过解答这7道数学问题而成为百万富翁或是闪光灯追逐的焦点，不如当个电影明星，甚至是抢银行，都会更容易些。相反，这些问题真正的诱惑，是“打开一扇通往无尽乐趣与可能的职业生涯的大门”。
数学界流传着一种说法:好的工作分为两种，一种可以给很多数学家提供饭碗，另一种则会打破很多数学家的饭碗。后者指的是对一个领域的盖棺定论的决定性研究工作，前者，则是像庞加莱猜想这样，由此生出一个全新的研究方向，诞生多个菲尔茨奖的大问题。
“如果拿出100万美元就可以让自己解决如此重要的问题，相信让很多数学家自掏腰包，他们也会心甘情愿，毫不犹豫。”每当被追问起谁将得到为庞加莱猜想而设立的100万美元奖金以及如何分配的问题，从不讳言自己早就是一名百万富翁的丘成桐总是挥挥手，报之以满不在乎的表情：“7个千禧年数学问题，最关键的是，它们都是好的数学问题。它们的价值，绝不是700万美元所能衡量。甚至7000万，7亿，也不足以形容它们对数学界和我们生活的这个世界的重要意义。”
